题目
1 某厂生产的化纤纤度服从正态分布N(μ,0.04^2),其中设计的均值为1.40。-|||-某天测得25根纤维的纤度的均值 overline (x)=1.39 ,问当天生产与原设计均值1.40-|||-有无显著差异?(取 alpha =0.05 )
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定假设
要检验的假设为 ${H}_{0}:\mu =1.40$ ,${H}_{1}:\mu \neq 1.40$ 。其中，${H}_{0}$ 是原假设，表示纤度的均值与设计值相同；${H}_{1}$ 是备择假设，表示纤度的均值与设计值不同。
步骤 2：选择检验统计量
因为已知总体标准差 $\sigma =0.04$ ，所以使用 $u$ 检验。检验统计量 $u$ 的计算公式为 $u=\dfrac {\overline {x}-\mu }{\sigma /\sqrt {n}}$ ，其中 $\overline {x}$ 是样本均值，$\mu$ 是总体均值，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 3：确定拒绝域
在 $\alpha =0.05$ 的显著性水平下，双侧检验的拒绝域为 $\{ |u|\geqslant {u}_{0.975}=1.96\} $ 。这意味着如果计算出的 $u$ 值的绝对值大于1.96，则拒绝原假设。
步骤 4：计算检验统计量
根据题目给出的数据，样本均值 $\overline {x}=1.39$ ，总体均值 $\mu =1.40$ ，总体标准差 $\sigma =0.04$ ，样本容量 $n=25$ 。将这些值代入检验统计量的计算公式，得到 $u=\dfrac {1.39-1.40}{0.04/\sqrt {25}}=-1.25$ 。
步骤 5：判断是否拒绝原假设
因为 $|u|=|-1.25|=1.25$ 小于1.96，所以样本未落在拒绝域内，因此在 $\alpha =0.05$ 的显著性水平下，不能拒绝原假设，即认为纤维的纤度与原设计均值1.40没有显著差异。
要检验的假设为 ${H}_{0}:\mu =1.40$ ,${H}_{1}:\mu \neq 1.40$ 。其中，${H}_{0}$ 是原假设，表示纤度的均值与设计值相同；${H}_{1}$ 是备择假设，表示纤度的均值与设计值不同。
步骤 2：选择检验统计量
因为已知总体标准差 $\sigma =0.04$ ，所以使用 $u$ 检验。检验统计量 $u$ 的计算公式为 $u=\dfrac {\overline {x}-\mu }{\sigma /\sqrt {n}}$ ，其中 $\overline {x}$ 是样本均值，$\mu$ 是总体均值，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 3：确定拒绝域
在 $\alpha =0.05$ 的显著性水平下，双侧检验的拒绝域为 $\{ |u|\geqslant {u}_{0.975}=1.96\} $ 。这意味着如果计算出的 $u$ 值的绝对值大于1.96，则拒绝原假设。
步骤 4：计算检验统计量
根据题目给出的数据，样本均值 $\overline {x}=1.39$ ，总体均值 $\mu =1.40$ ，总体标准差 $\sigma =0.04$ ，样本容量 $n=25$ 。将这些值代入检验统计量的计算公式，得到 $u=\dfrac {1.39-1.40}{0.04/\sqrt {25}}=-1.25$ 。
步骤 5：判断是否拒绝原假设
因为 $|u|=|-1.25|=1.25$ 小于1.96，所以样本未落在拒绝域内，因此在 $\alpha =0.05$ 的显著性水平下，不能拒绝原假设，即认为纤维的纤度与原设计均值1.40没有显著差异。