题目
14.若X~N(μ，σ²)，则(X-μ)/(σ^2)~N(0,1). ( )A. 对B. 错
14.若X~N(μ，σ²)，则$\frac{X-μ}{σ^{2}}$~N(0,1). ( )
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：标准化变量
设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则标准化变量为 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$。这是标准正态分布的定义，其中均值为0，方差为1。
步骤 2：题目中的变量
题目中变量为 $Y = \frac{X - \mu}{\sigma^2} = \frac{Z}{\sigma}$。这里，$Y$ 是 $Z$ 除以 $\sigma$ 的结果。
步骤 3：计算 $Y$ 的期望和方差
计算得：\[ E(Y) = E\left(\frac{Z}{\sigma}\right) = \frac{E(Z)}{\sigma} = \frac{0}{\sigma} = 0 \] \[ \text{Var}(Y) = \text{Var}\left(\frac{Z}{\sigma}\right) = \frac{\text{Var}(Z)}{\sigma^2} = \frac{1}{\sigma^2} \] 仅当 $\sigma^2 = 1$ 时，$\text{Var}(Y) = 1$，但题目未限定 $\sigma^2 = 1$，故 $Y$ 不服从 $N(0, 1)$。
设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则标准化变量为 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$。这是标准正态分布的定义，其中均值为0，方差为1。
步骤 2：题目中的变量
题目中变量为 $Y = \frac{X - \mu}{\sigma^2} = \frac{Z}{\sigma}$。这里，$Y$ 是 $Z$ 除以 $\sigma$ 的结果。
步骤 3：计算 $Y$ 的期望和方差
计算得：\[ E(Y) = E\left(\frac{Z}{\sigma}\right) = \frac{E(Z)}{\sigma} = \frac{0}{\sigma} = 0 \] \[ \text{Var}(Y) = \text{Var}\left(\frac{Z}{\sigma}\right) = \frac{\text{Var}(Z)}{\sigma^2} = \frac{1}{\sigma^2} \] 仅当 $\sigma^2 = 1$ 时，$\text{Var}(Y) = 1$，但题目未限定 $\sigma^2 = 1$，故 $Y$ 不服从 $N(0, 1)$。