题目

设 X sim N(1, 4), 求 F(5), P0 < X leq 1.6, P|X-1| leq 2.

设 $X \sim N(1, 4)$, 求 $F(5)$, $P\{0 < X \leq 1.6\}$, $P\{|X-1| \leq 2\}$.

题目解答

答案

我们来逐步解决这个题目。 --- ## **题目内容：** 设随机变量 $ X \sim N(1, 4) $，即 $ X $ 服从均值为 1，方差为 4 的正态分布。 要求： 1. $ F(5) = P(X \leq 5) $ 2. $ P(0 < X \leq 1.6) $ 3. $ P(|X - 1| \leq 2) $ --- ## **解题思路：** 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ 的性质： - 均值：$ \mu = 1 $ - 方差：$ \sigma^2 = 4 $，所以标准差 $ \sigma = 2 $ 我们可以将 $ X $ 标准化为标准正态分布 $ Z \sim N(0, 1) $，即： $$ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 1}{2} $$ 然后使用标准正态分布表（或计算器）来查找概率值。 --- ## **1. 求 $ F(5) = P(X \leq 5) $** 我们标准化： $$ P(X \leq 5) = P\left( \frac{X - 1}{2} \leq \frac{5 - 1}{2} \right) = P(Z \leq 2) $$ 查标准正态分布表，或使用计算器： $$ P(Z \leq 2) \approx 0.9772 $$ 所以： $$ \boxed{F(5) = 0.9772} $$ --- ## **2. 求 $ P(0 < X \leq 1.6) $** 标准化： $$ P(0 < X \leq 1.6) = P\left( \frac{0 - 1}{2} < Z \leq \frac{1.6 - 1}{2} \right) = P(-0.5 < Z \leq 0.3) $$ 查表得： - $ P(Z \leq 0.3) \approx 0.6179 $ - $ P(Z \leq -0.5) \approx 0.3085 $ 所以： $$ P(-0.5 < Z \leq 0.3) = P(Z \leq 0.3) - P(Z \leq -0.5) = 0.6179 - 0.3085 = 0.3094 $$ 所以： $$ \boxed{P(0 < X \leq 1.6) = 0.3094} $$ --- ## **3. 求 $ P(|X - 1| \leq 2) $** 我们先化简不等式： $$ |X - 1| \leq 2 \iff -2 \leq X - 1 \leq 2 \iff -1 \leq X \leq 3 $$ 所以： $$ P(|X - 1| \leq 2) = P(-1 \leq X \leq 3) $$ 标准化： $$ P(-1 \leq X \leq 3) = P\left( \frac{-1 - 1}{2} \leq Z \leq \frac{3 - 1}{2} \right) = P(-1 \leq Z \leq 1) $$ 查表： - $ P(Z \leq 1) \approx 0.8413 $ - $ P(Z \leq -1) \approx 0.1587 $ 所以： $$ P(-1 \leq Z \leq 1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826 $$ 所以： $$ \boxed{P(|X - 1| \leq 2) = 0.6826} $$ --- ## **最终答案总结：** 1. $ F(5) = \boxed{0.9772} $ 2. $ P(0 < X \leq 1.6) = \boxed{0.3094} $ 3. $ P(|X - 1| \leq 2) = \boxed{0.6826} $

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化变换、标准正态分布表的使用，以及绝对值不等式的转化。

解题核心思路：

  1. 标准化：将任意正态分布转化为标准正态分布（均值为0，方差为1），利用公式 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
  2. 查表求概率：通过标准正态分布表查找对应分位点的概率值。
  3. 区间概率拆分：将复杂区间概率拆分为标准正态分布的差值计算。

破题关键点：

  • 正确识别参数：$X \sim N(1,4)$ 中，$\mu=1$，$\sigma=2$。
  • 绝对值不等式转化：$|X - \mu| \leq a$ 对应区间 $[\mu - a, \mu + a]$。

1. 求 $F(5) = P(X \leq 5)$

标准化处理

$Z = \frac{5 - 1}{2} = 2$

查标准正态分布表

$P(Z \leq 2) \approx 0.9772$，因此：
$F(5) = 0.9772$

2. 求 $P(0 < X \leq 1.6)$

标准化处理

$Z_1 = \frac{0 - 1}{2} = -0.5, \quad Z_2 = \frac{1.6 - 1}{2} = 0.3$

计算概率差值

$P(-0.5 < Z \leq 0.3) = P(Z \leq 0.3) - P(Z \leq -0.5)$
查表得：
$P(Z \leq 0.3) \approx 0.6179, \quad P(Z \leq -0.5) \approx 0.3085$
$P(0 < X \leq 1.6) = 0.6179 - 0.3085 = 0.3094$

3. 求 $P(|X - 1| \leq 2)$

转化绝对值不等式

$|X - 1| \leq 2 \implies -1 \leq X \leq 3$

标准化处理

$Z_1 = \frac{-1 - 1}{2} = -1, \quad Z_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$

计算概率差值

$P(-1 \leq Z \leq 1) = P(Z \leq 1) - P(Z \leq -1)$
查表得：
$P(Z \leq 1) \approx 0.8413, \quad P(Z \leq -1) \approx 0.1587$
$P(|X - 1| \leq 2) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826$