题目

设随机变量X,Y的期望和方差存在，且D(X-Y)=D(X)+D(Y)，则下列说法不正确的是（ ）A D(X+Y)=D(X)+D(Y)B E(XY)=E(X)E(Y)C X、Y不相关 D X、Y相互独立

设随机变量X,Y的期望和方差存在，且D(X-Y)=D(X)+D(Y)，则下列说法不正确的是（ ）

A D(X+Y)=D(X)+D(Y)

B E(XY)=E(X)E(Y)

C X、Y不相关

D X、Y相互独立

题目解答

答案

解：

因为D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)

所以Cov(X，Y)=0，即X与Y不相关.所以(C)正确.又

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=D(X)+D(Y)

所以(A)正确.又

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，且Cov(X.Y)=0，

可得E(XY)=E(X)E(Y)，所以（B）正确，

但Cov(X,Y)=0并不能说明X,Y独立，所以（D）不正确，

故选：D.

解析

考查要点：本题主要考查随机变量方差的性质、协方差与相关性的关系，以及独立性与不相关的区别。

解题核心思路：

  1. 利用方差公式展开：根据题目条件$D(X-Y)=D(X)+D(Y)$，展开方差公式，推导出协方差$Cov(X,Y)=0$。
  2. 分析各选项：
    • 选项A：通过方差公式验证$D(X+Y)$是否等于$D(X)+D(Y)$；
    • 选项B：结合协方差定义$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$，判断$E(XY)$是否等于$E(X)E(Y)$；
    • 选项C：根据协方差为零判断是否不相关；
    • 选项D：明确不相关与独立的关系，指出协方差为零不能推出独立性。

破题关键点：

  • 协方差为零是核心推导结果，由此可直接判断选项C、B、A的正确性；
  • 独立性与不相关的区别：不相关仅说明线性无关，但可能存在非线性依赖，因此独立性无法保证。

条件分析

根据方差公式：
$D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)$
题目给出$D(X-Y) = D(X) + D(Y)$，代入得：
$D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y) = D(X) + D(Y)$
解得：
$Cov(X,Y) = 0$

选项分析

选项A：$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$

根据方差公式：
$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)$
因$Cov(X,Y)=0$，故：
$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$
选项A正确。

选项B：$E(XY)=E(X)E(Y)$

协方差定义为：
$Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$
因$Cov(X,Y)=0$，代入得：
$E(XY) = E(X)E(Y)$
选项B正确。

选项C：$X$、$Y$不相关

协方差为零时，相关系数$\rho_{X,Y}=0$，说明$X$与$Y$不相关。
选项C正确。

选项D：$X$、$Y$相互独立

不相关仅说明变量间无线性关系，但可能存在非线性依赖。独立性要求更强，需满足联合分布等于边缘分布的乘积。题目未给出独立性条件，因此无法推出$X$与$Y$独立。
选项D不正确。