5.单选题 已知随机变量X服从区间(-(pi)/(2),(pi)/(2))上的均匀分布，Y=sinX，则Cov(X,Y)=()A. 0B. πC. (pi)/(2)D. (2)/(pi)

步骤 1：计算 $E(X)$
- $X$ 服从区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的均匀分布，其概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{\pi}$。
- $E(X) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x \cdot \frac{1}{\pi} \, dx = 0$（奇函数在对称区间积分为0）。

步骤 2：计算 $E(Y)$
- $Y = \sin X$，则 $E(Y) = E(\sin X) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cdot \frac{1}{\pi} \, dx = 0$（同理，奇函数在对称区间积分为0）。

步骤 3：计算 $E(XY)$
- $E(XY) = E(X \sin X) = \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$（偶函数）。
- 使用分部积分法计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$，设 $u = x$，$dv = \sin x \, dx$，则 $du = dx$，$v = -\cos x$。
- $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx = \left[-x \cos x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = 1$。
- 因此，$E(XY) = \frac{2}{\pi} \cdot 1 = \frac{2}{\pi}$。

步骤 4：计算 $\text{Cov}(X, Y)$
- $\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = \frac{2}{\pi} - 0 \cdot 0 = \frac{2}{\pi}$。