题目
9.2 为了研究合金钢的强度Y与含碳量X(%)的关系,收集了92组生产数据(见表-|||-9.9).假设这些数据服从一元线性回归模型-|||-_(1)=(beta )_(0)+(beta )_(1)(x)_(i)+(e)_(1) _(1)approx N(0,(sigma )^2) =1,... 92,,-|||-表9.9 铜强度试验数据表-|||-序号 x y 序号 %) (kg/m(m)^2) 序号 (%) (kg/(m)^2)-|||-x y x y-|||-%) (kg/m(n)^2)-|||-1 0.03 40.5 32 0.10 43.5 63 0.13 47.5-|||-2 0.04 41.5 33 0.10 40.5 64 0.13 49.5-|||-3 0.04 38.0 34 0.10 44.0 65 0.14 49.0-|||-4 0.05 42.5 35 0.10 42.5 66 0.14 41.0-|||-5 0.05 40.0 36 0.10 41.5 67 0.14 43.0-|||-6 0.05 41.0 37 0.10 37.0 68 0.14 47.5-|||-7 0.05 40.0 38 0.10 43.0 69 0.15 46.0-|||-8 0.06 43.0 39 0.10 41.5 70 0.15 49.0-|||-9 0.06 43.5 40 0.10 45.0 71 0.15 39.5-|||-10 0.07 39.5 41 0.10 41.0 72 0.15 55.0-|||-11 0.07 43.0 42 0.11 42.5 73 0.16 48.0-|||-12 0.07 42.5 43 0.11 42.0 74 0.16 48.5-|||-13 0.08 42.0 44 0.11 42.0 75 0.16 51.0-|||-14 0.08 42.0 45 0.11 46.0 76 0.16 48.0-|||-15 0.08 42.0 46 0.11 45.5 77 0.17 53.0-|||-16 0.08 41.5 47 0.12 49.0 78 0.18 50.0-|||-17 0.08 42.0 48 0.12 42.5 79 0.20 52.5-|||-18 0.08 41.5 49 0.12 44.0 80 0.20 55.5-|||-19 0.08 42.0 50 0.12 42.0 81 0.20 57.0-|||-20 0.09 42.5 51 0.12 43.0 82 0.21 56.0-|||-21 0.09 39.5 52 0.12 46.5 83 0.21 52.5-|||-22 0.09 43.5 53 0.12 46.5 84 0.21 56.0-|||-23 0.09 39.0 54 0.13 43.0 85 0.23 60.0-|||-24 0.09 42.5 55 0.13 46.0 86 0.24 56.0-|||-25 0.09 42.0 56 0.13 43.0 87 0.24 53.0-|||-26 0.09 43.0 57 0.13 44.5 88 0.24 53.0-|||-27 0.09 43.0 58 0.13 46.5 89 0.25 54.5-|||-28 0.09 44.5 59 0.13 43.0 90 0.26 61.5-|||-29 0.09 43.0 60 0.13 45.5 91 0.29 59.5-|||-30 0.09 45.0 61 0.13 44.5 92 0.32 64.0-|||-31 0.09 45.5 62 0.13 46.0-|||-这里e1相互独立.应用计算机统计软件完成下列问题.-|||-(1)求β0和β1的最小二乘估计,并写出经验回归方程.-|||-(2)作回归方程的显著性检验,列出方差分析表(取 =0.05).-|||-(3)求出β0和β1各自的置信系数为95%的置信区间.-|||-(4)求含碳量 _(0)=0.1 时,钢的强度y0的点预测和包含概率为95%的预测区间.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求β0和β1的最小二乘估计
根据最小二乘法，我们首先需要计算出β0和β1的估计值。β1的估计值可以通过以下公式计算：
$$
\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}
$$
其中，$\bar{x}$和$\bar{y}$分别是x和y的平均值。β0的估计值可以通过以下公式计算：
$$
\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}
$$
步骤 2：写出经验回归方程
根据β0和β1的估计值，我们可以写出经验回归方程：
$$
\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x
$$
步骤 3：作回归方程的显著性检验
为了检验回归方程的显著性，我们需要计算F统计量，并与临界值进行比较。F统计量的计算公式为：
$$
F = \frac{MSR}{MSE}
$$
其中，MSR是回归平方和的均方，MSE是误差平方和的均方。如果F统计量大于临界值，则回归方程显著。
步骤 4：求出β0和β1各自的置信系数为95%的置信区间
β0和β1的置信区间可以通过以下公式计算：
$$
\hat{\beta}_0 \pm t_{\alpha/2, n-2} \times SE(\hat{\beta}_0)
$$
$$
\hat{\beta}_1 \pm t_{\alpha/2, n-2} \times SE(\hat{\beta}_1)
$$
其中，$t_{\alpha/2, n-2}$是自由度为n-2的t分布的临界值，$SE(\hat{\beta}_0)$和$SE(\hat{\beta}_1)$分别是β0和β1的标准误差。
步骤 5：求含碳量 ${x}_{0}=0.1$ 时,钢的强度y0的点预测和包含概率为95%的预测区间
点预测可以通过将${x}_{0}=0.1$代入经验回归方程计算得到。预测区间可以通过以下公式计算：
$$
\hat{y}_0 \pm t_{\alpha/2, n-2} \times SE(\hat{y}_0)
$$
其中，$SE(\hat{y}_0)$是预测值的标准误差。
根据最小二乘法，我们首先需要计算出β0和β1的估计值。β1的估计值可以通过以下公式计算：
$$
\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}
$$
其中，$\bar{x}$和$\bar{y}$分别是x和y的平均值。β0的估计值可以通过以下公式计算：
$$
\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}
$$
步骤 2：写出经验回归方程
根据β0和β1的估计值，我们可以写出经验回归方程：
$$
\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x
$$
步骤 3：作回归方程的显著性检验
为了检验回归方程的显著性，我们需要计算F统计量，并与临界值进行比较。F统计量的计算公式为：
$$
F = \frac{MSR}{MSE}
$$
其中，MSR是回归平方和的均方，MSE是误差平方和的均方。如果F统计量大于临界值，则回归方程显著。
步骤 4：求出β0和β1各自的置信系数为95%的置信区间
β0和β1的置信区间可以通过以下公式计算：
$$
\hat{\beta}_0 \pm t_{\alpha/2, n-2} \times SE(\hat{\beta}_0)
$$
$$
\hat{\beta}_1 \pm t_{\alpha/2, n-2} \times SE(\hat{\beta}_1)
$$
其中，$t_{\alpha/2, n-2}$是自由度为n-2的t分布的临界值，$SE(\hat{\beta}_0)$和$SE(\hat{\beta}_1)$分别是β0和β1的标准误差。
步骤 5：求含碳量 ${x}_{0}=0.1$ 时,钢的强度y0的点预测和包含概率为95%的预测区间
点预测可以通过将${x}_{0}=0.1$代入经验回归方程计算得到。预测区间可以通过以下公式计算：
$$
\hat{y}_0 \pm t_{\alpha/2, n-2} \times SE(\hat{y}_0)
$$
其中，$SE(\hat{y}_0)$是预测值的标准误差。