题目

(2)设f(x)满足方程 2f(x)+f((1)/(x))=(1)/(x)，求f(x)的表达式.

(2)设$f(x)$满足方程$ 2f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x}$，求$f(x)$的表达式.

题目解答

答案

将原方程 $2f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x}$ 中的 $x$ 替换为 $\frac{1}{x}$，得： $2f\left(\frac{1}{x}\right) + f(x) = x.$ 将原方程乘以2，得： $4f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{2}{x}.$ 两式相减消去 $f\left(\frac{1}{x}\right)$： $3f(x) = \frac{2}{x} - x.$ 解得： $f(x) = \frac{1}{3}\left(\frac{2}{x} - x\right) = \frac{2 - x^2}{3x}.$ 答案： $\boxed{\frac{2 - x^2}{3x}}$

解析

本题考查函数表达式的求解，解题思路是通过变量代换得到一个新的方程，然后与原方程联立，消去其中一个未知函数，从而求出目标函数的表达式。

  1. 首先，将原方程$2f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x}$中的$x$替换为$\frac{1}{x}$：
    • 把$x$换成$\frac{1}{x}$后，$f(x)$变为$f(\frac{1}{x})$，$f(\frac{1}{x})$变为$f(x)$，$\frac{1}{x}$变为$x$，得到新方程$2f(\frac{1}{x}) + f(x) = x$。
  2. 接着，将原方程$2f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x}$两边同时乘以$2$：
    • 根据等式的性质，等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立。所以$2\times(2f(x)+f(\frac{1}{x})) = 2\times\frac{1}{x}$。
    • 利用乘法分配律$a(b + c)=ab+ac$，可得$4f(x) + 2f(\frac{1}{x}) = \frac{2}{x}$。
  3. 然后，用$4f(x) + 2f(\frac{1}{x}) = \frac{2}{x}$减去$2f(\frac{1}{x}) + f(x) = x$消去$f(\frac{1}{x})$：
    • $(4f(x) + 2f(\frac{1}{x}))-(2f(\frac{1}{x}) + f(x))=\frac{2}{x}-x$。
    • 去括号得$4f(x) + 2f(\frac{1}{x})-2f(\frac{1}{x}) - f(x)=\frac{2}{x}-x$。
    • 合并同类项，$4f(x)-f(x)+2f(\frac{1}{x})-2f(\frac{1}{x})=\frac{2}{x}-x$，即$3f(x)=\frac{2}{x}-x$。
  4. 最后，求解$f(x)$：
    • 等式两边同时除以$3$，得到$f(x)=\frac{1}{3}(\frac{2}{x}-x)$。
    • 对$\frac{1}{3}(\frac{2}{x}-x)$进行通分，$\frac{1}{3}(\frac{2}{x}-x)=\frac{1}{3}\times\frac{2 - x^2}{x}=\frac{2 - x^2}{3x}$。