5.设总体X的概率密度为 f(x)= ) lambda (e)^-lambda x,xgt 0 0, . ,其中 lambda gt 0 是未知参数、x1,x2,···xn是来自总体X-|||-的一个简单随机样本.分别用矩估计法和极大似然估计法求λ的估计量.

考查要点：本题主要考查参数估计中的矩估计法和极大似然估计法的应用，涉及指数分布的期望计算及似然函数的构造与求解。

解题核心思路：

1. 矩估计法：利用样本均值估计总体均值，通过计算指数分布的期望，建立方程求解λ。
2. 极大似然估计法：构造样本的似然函数，取对数后求导，解方程得到λ的估计量。

破题关键点：

• 矩估计：明确指数分布的期望公式为$E(X) = \frac{1}{\lambda}$，并用样本均值$\overline{X}$代替总体均值。
• 极大似然估计：正确写出似然函数$L(\lambda)$，对数似然函数$\ln L(\lambda)$的展开与求导，以及求导后方程的解。

矩估计法

计算总体期望

指数分布的期望为：
$E(X) = \int_{0}^{+\infty} x \lambda e^{-\lambda x} \, dx = \frac{1}{\lambda}$

建立方程

令样本均值$\overline{X} = \frac{1}{\lambda}$，解得：
$\hat{\lambda}_{\text{矩}} = \frac{1}{\overline{X}}$

极大似然估计法

构造似然函数

样本的似然函数为：
$L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i}$

对数似然函数

取自然对数：
$\ln L(\lambda) = n \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^{n} x_i$

求导并解方程

对$\lambda$求导并令导数为0：
$\frac{d \ln L(\lambda)}{d \lambda} = \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} x_i = 0$
解得：
$\hat{\lambda}_{\text{极大似然}} = \frac{1}{\overline{X}}$