题目
2.已知随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布，Ysim N(-2,4)，Z=X-Y，则EZ=（ ）；若X，Y相互独立，则E(XY)=（ ）.
2.已知随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布，$Y\sim N(-2,4)$，$Z=X-Y$，则EZ=（ ）；
若X，Y相互独立，则E(XY)=（ ）.
题目解答
答案
为了解决给定的问题，我们需要使用随机变量的期望值的性质。让我们一步步地解决每个部分。
### 第一部分：找到 $ E(Z) $
已知：
- 随机变量 $ X $ 服从参数为2的泊松分布。
- 随机变量 $ Y \sim N(-2, 4) $。
- 随机变量 $ Z = X - Y $。
我们需要找到 $ E(Z) $。
利用期望值的线性性质，我们有：
\[ E(Z) = E(X - Y) = E(X) - E(Y) \]
对于泊松分布 $ X $ 与参数 $ \lambda = 2 $，期望值 $ E(X) $ 等于 $ \lambda $：
\[ E(X) = 2 \]
对于正态分布 $ Y \sim N(-2, 4) $，期望值 $ E(Y) $ 是均值 $ \mu $：
\[ E(Y) = -2 \]
将这些值代入 $ E(Z) $ 的表达式中，我们得到：
\[ E(Z) = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4 \]
因此，$ E(Z) $ 的值是：
\[ \boxed{4} \]
### 第二部分：找到 $ E(XY) $
已知：
- 随机变量 $ X $ 服从参数为2的泊松分布。
- 随机变量 $ Y \sim N(-2, 4) $。
- $ X $ 和 $ Y $ 相互独立。
我们需要找到 $ E(XY) $。
对于两个独立的随机变量 $ X $ 和 $ Y $，它们的乘积的期望值是它们期望值的乘积：
\[ E(XY) = E(X) \cdot E(Y) \]
我们已经从第一部分知道：
\[ E(X) = 2 \]
\[ E(Y) = -2 \]
将这些值代入 $ E(XY) $ 的表达式中，我们得到：
\[ E(XY) = 2 \cdot (-2) = -4 \]
因此，$ E(XY) $ 的值是：
\[ \boxed{-4} \]
解析
考查要点：本题主要考查期望值的线性性质以及独立随机变量乘积的期望计算。
解题思路：
- 第一空：利用期望的线性性质，直接计算$E(Z) = E(X - Y) = E(X) - E(Y)$。其中，泊松分布的期望为参数$\lambda$，正态分布的期望为其均值参数。
- 第二空：当$X$与$Y$独立时，乘积的期望等于各自期望的乘积，即$E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$。
关键点：
- 泊松分布的期望为参数$\lambda$。
- 正态分布的期望为其均值参数$\mu$。
- 独立随机变量的乘积期望可分解为各自期望的乘积。
第一空：求$E(Z)$
确定$E(X)$和$E(Y)$
- $X$服从参数为2的泊松分布，故$E(X) = \lambda = 2$。
- $Y \sim N(-2, 4)$，其均值为$\mu = -2$，故$E(Y) = -2$。
计算$E(Z)$
根据期望的线性性质：
$E(Z) = E(X - Y) = E(X) - E(Y) = 2 - (-2) = 4.$
第二空：求$E(XY)$
利用独立性
由于$X$与$Y$独立，乘积的期望可分解为：
$E(XY) = E(X) \cdot E(Y) = 2 \cdot (-2) = -4.$