题目
设总体 X sim N(mu_1, sigma_1^2), Y sim N(mu_2, sigma_2^2), 检验假设 H_0: sigma_1^2 = sigma_2^2, H_1: sigma_1^2 neq sigma_2^2, alpha = 0.10. 从 X, Y 分别抽取容量为 n_1 = 12, n_2 = 10 的样本, 算得 S_1^2 = 118.4, S_2^2 = 31.93, 则正确的检验为()。 A. 用 t 检验法, 拒绝 H_0B. 用 t 检验法, 接受 H_0C. 用 F 检验法, 拒绝 H_0D. 用 F 检验法, 接受 H_0
设总体 $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$, $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$, 检验假设 $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$, $H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$, $\alpha = 0.10$. 从 $X$, $Y$ 分别抽取容量为 $n_1 = 12$, $n_2 = 10$ 的样本, 算得 $S_1^2 = 118.4$, $S_2^2 = 31.93$, 则正确的检验为()。
- A. 用 $t$ 检验法, 拒绝 $H_0$
- B. 用 $t$ 检验法, 接受 $H_0$
- C. 用 $F$ 检验法, 拒绝 $H_0$
- D. 用 $F$ 检验法, 接受 $H_0$
题目解答
答案
检验两个正态总体方差是否相等，应使用F检验。已知条件为：
- 样本方差：$S_1^2 = 118.4$，$S_2^2 = 31.93$
- 样本容量：$n_1 = 12$，$n_2 = 10$
- 显著性水平：$\alpha = 0.10$
计算F统计量：
\[ F = \frac{S_1^2}{S_2^2} = \frac{118.4}{31.93} \approx 3.71 \]
查表得临界值：
\[ F_{0.05}(11, 9) = 3.10 \]
由于 $F = 3.71 > F_{0.05}(11, 9) = 3.10$，落在拒绝域内，故拒绝原假设 $H_0$。
**答案：C**
**解析**
F检验统计量 $F = \frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)$，计算得 $F \approx 3.71$。
查表得 $F_{0.05}(11, 9) = 3.10$，因 $F > 3.10$，拒绝 $H_0$。
**答案：C**
解析
考查要点：本题主要考查两个正态总体方差齐性检验的方法选择及检验过程，涉及F检验法的应用。
解题核心思路：
- 检验方法选择：检验两个正态总体方差是否相等时，应使用F检验法，而非t检验法。
- F统计量计算：构造统计量 $F = \frac{S_1^2}{S_2^2}$（需确保分子为较大的样本方差）。
- 临界值比较：根据自由度和显著性水平查F分布表，判断统计量是否落在拒绝域。
破题关键点：
- 明确方差齐性检验使用F检验。
- 正确计算F值并确定自由度。
- 通过比较F值与临界值得出结论。
步骤1：确定检验方法
检验两个正态总体方差是否相等时，应使用F检验法，而非t检验法。因此排除选项A、B。
步骤2：计算F统计量
将较大的样本方差 $S_1^2 = 118.4$ 作为分子，较小的 $S_2^2 = 31.93$ 作为分母：
$F = \frac{S_1^2}{S_2^2} = \frac{118.4}{31.93} \approx 3.71$
步骤3：确定自由度与临界值
自由度为 $(n_1-1, n_2-1) = (11, 9)$，显著性水平 $\alpha = 0.10$（双侧检验对应单侧 $\alpha/2 = 0.05$）。查F分布表得：
$F_{0.05}(11, 9) = 3.10$
步骤4：比较并结论
因 $F = 3.71 > F_{0.05}(11, 9) = 3.10$，统计量落在拒绝域，故拒绝原假设 $H_0$。