5. (2019) (3分) 极限lim_(xtoinfty)(1-(1)/(3x))^x= ( ).A. e^3B. sqrt[3](e)C. (1)/(e^3)D. (1)/(sqrt[3](e))

本题考查重要极限公式$\lim_{x\to\infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$的应用。解题思路是通过对原式进行变形，使其符合重要极限公式的形式，然后再进行计算。

1. 首先，对原式$\lim_{x\to\infty}(1 - \frac{1}{3x})^x$进行变形。
   • 令$t=-3x$，则$x = -\frac{t}{3}$。当$x\to\infty$时，$t\to\infty$。
   • 将$x = -\frac{t}{3}$代入原式可得：
     • $\lim_{x\to\infty}(1 - \frac{1}{3x})^x=\lim_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^{-\frac{t}{3}}$。
2. 然后，根据指数运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$对$\lim_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^{-\frac{t}{3}}$进行化简。
   • $\lim_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^{-\frac{t}{3}}=\lim_{t\to\infty}[(1 + \frac{1}{t})^t]^{-\frac{1}{3}}$。
3. 接着，根据重要极限公式$\lim_{t\to\infty}(1 + \frac{1}{t})^t = e$，可得：
   • $\lim_{t\to\infty}[(1 + \frac{1}{t})^t]^{-\frac{1}{3}}=e^{-\frac{1}{3}}$。
4. 最后，根据负指数幂的运算法则$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$，将$e^{-\frac{1}{3}}$化简为$\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$，而$e^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{e}$，所以$e^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{e}}$。