题目
3、设总体Xsim E(lambda)，则未知参数lambda的矩估计量为____.
3、设总体$X\sim E(\lambda)$，则未知参数$\lambda$的矩估计量为____.
题目解答
答案
对于指数分布 $X \sim E(\lambda)$，其期望值为 $E(X) = \frac{1}{\lambda}$。在矩估计法中，用样本均值 $\overline{X}$ 估计总体均值，即 $\overline{X} \approx E(X)$。解方程 $\overline{X} = \frac{1}{\lambda}$ 得 $\lambda = \frac{1}{\overline{X}}$。
因此，未知参数 $\lambda$ 的矩估计量为 $\boxed{\frac{1}{\overline{X}}}$ 或 $\boxed{\frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i}}$。
解析
考查要点：本题主要考查矩估计法的应用，特别是针对指数分布参数的估计。
解题核心思路：
矩估计法的核心是用样本矩代替总体矩，通过解方程得到参数的估计值。对于指数分布$X \sim E(\lambda)$，其期望为$\frac{1}{\lambda}$。因此，只需将样本均值$\overline{X}$代入总体期望的表达式，解方程即可得到$\lambda$的矩估计量。
破题关键点：
- 明确指数分布的期望公式：$E(X) = \frac{1}{\lambda}$。
- 理解矩估计法中样本均值$\overline{X}$代替总体均值的逻辑。
- 通过代数变形，将方程$\overline{X} = \frac{1}{\lambda}$解出$\lambda$。
步骤1：写出总体矩的表达式
指数分布的期望为：
$E(X) = \frac{1}{\lambda}.$
步骤2：用样本矩代替总体矩
根据矩估计法，用样本均值$\overline{X}$代替总体均值$E(X)$，即：
$\overline{X} = \frac{1}{\lambda}.$
步骤3：解方程求$\lambda$
将方程变形，解得：
$\lambda = \frac{1}{\overline{X}}.$
等价形式：
由于$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，因此$\lambda$的矩估计量也可表示为：
$\lambda = \frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i}.$