题目
7.设总体X~N(1,6),X_(1),X_(2),...,X_(6)为来自该总体的样本，overline(X)=(1)/(6)sum_(i=1)^6X_(i)，则E(overline(X))=____. D(overline(X))=____.
7.设总体X~N(1,6),$X_{1},X_{2},\cdots,X_{6}$为来自该总体的样本，$\overline{X}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}X_{i}$，则$E(\overline{X})=$____. $D(\overline{X})=$____.
题目解答
答案
为了求解 $ E(\overline{X}) $ 和 $ D(\overline{X}) $，我们首先需要理解样本均值 $\overline{X}$ 的期望和方差的性质。给定总体 $ X \sim N(1, 6) $，样本 $ X_1, X_2, \cdots, X_6 $ 来自该总体，样本均值 $\overline{X}$ 定义为：
\[
\overline{X} = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{6} X_i
\]
### 步骤1：计算 $ E(\overline{X}) $
样本均值的期望等于总体的期望。即：
\[
E(\overline{X}) = E\left( \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{6} X_i \right) = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{6} E(X_i)
\]
由于 $ X_1, X_2, \cdots, X_6 $ 都是来自总体 $ X \sim N(1, 6) $ 的样本，所以 $ E(X_i) = 1 $ 对于所有 $ i $ 都成立。因此：
\[
E(\overline{X}) = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{6} 1 = \frac{1}{6} \times 6 \times 1 = 1
\]
### 步骤2：计算 $ D(\overline{X}) $
样本均值的方差等于总体的方差除以样本容量。即：
\[
D(\overline{X}) = D\left( \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{6} X_i \right) = \left( \frac{1}{6} \right)^2 \sum_{i=1}^{6} D(X_i)
\]
由于 $ X_1, X_2, \cdots, X_6 $ 都是来自总体 $ X \sim N(1, 6) $ 的样本，所以 $ D(X_i) = 6 $ 对于所有 $ i $ 都成立。因此：
\[
D(\overline{X}) = \left( \frac{1}{6} \right)^2 \times 6 \times 6 = \frac{1}{36} \times 36 = 1
\]
### 最终答案
\[
E(\overline{X}) = 1, \quad D(\overline{X}) = 1
\]
\[
\boxed{1, 1}
\]
解析
步骤 1：计算 $ E(\overline{X}) $
样本均值的期望等于总体的期望。即：
\[ E(\overline{X}) = E\left( \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{6} X_i \right) = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{6} E(X_i) \]
由于 $ X_1, X_2, \cdots, X_6 $ 都是来自总体 $ X \sim N(1, 6) $ 的样本，所以 $ E(X_i) = 1 $ 对于所有 $ i $ 都成立。因此：
\[ E(\overline{X}) = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{6} 1 = \frac{1}{6} \times 6 \times 1 = 1 \]
步骤 2：计算 $ D(\overline{X}) $
样本均值的方差等于总体的方差除以样本容量。即：
\[ D(\overline{X}) = D\left( \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{6} X_i \right) = \left( \frac{1}{6} \right)^2 \sum_{i=1}^{6} D(X_i) \]
由于 $ X_1, X_2, \cdots, X_6 $ 都是来自总体 $ X \sim N(1, 6) $ 的样本，所以 $ D(X_i) = 6 $ 对于所有 $ i $ 都成立。因此：
\[ D(\overline{X}) = \left( \frac{1}{6} \right)^2 \times 6 \times 6 = \frac{1}{36} \times 36 = 1 \]
样本均值的期望等于总体的期望。即：
\[ E(\overline{X}) = E\left( \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{6} X_i \right) = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{6} E(X_i) \]
由于 $ X_1, X_2, \cdots, X_6 $ 都是来自总体 $ X \sim N(1, 6) $ 的样本，所以 $ E(X_i) = 1 $ 对于所有 $ i $ 都成立。因此：
\[ E(\overline{X}) = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{6} 1 = \frac{1}{6} \times 6 \times 1 = 1 \]
步骤 2：计算 $ D(\overline{X}) $
样本均值的方差等于总体的方差除以样本容量。即：
\[ D(\overline{X}) = D\left( \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{6} X_i \right) = \left( \frac{1}{6} \right)^2 \sum_{i=1}^{6} D(X_i) \]
由于 $ X_1, X_2, \cdots, X_6 $ 都是来自总体 $ X \sim N(1, 6) $ 的样本，所以 $ D(X_i) = 6 $ 对于所有 $ i $ 都成立。因此：
\[ D(\overline{X}) = \left( \frac{1}{6} \right)^2 \times 6 \times 6 = \frac{1}{36} \times 36 = 1 \]