43.（判断题，2.0分）当x→0时，sqrt(1+x)～(1)/(n)x。A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查等价无穷小的概念及泰勒展开的应用。
解题思路：判断两个函数是否为等价无穷小，需验证它们的比值在$x \to 0$时是否趋近于1。通过展开$\sqrt{1+x}$的泰勒多项式，分析其主部与$\frac{1}{n}x$的关系即可得出结论。
关键点：

1. 等价无穷小的定义：$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x}}{\frac{1}{n}x} = 1$。
2. 泰勒展开：$\sqrt{1+x}$在$x=0$处的展开式为$1 + \frac{1}{2}x + O(x^2)$，其中常数项的存在导致比值发散。

步骤1：写出等价无穷小的定义
若$\sqrt{1+x} \sim \frac{1}{n}x$，则需满足：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x}}{\frac{1}{n}x} = 1.$

步骤2：展开$\sqrt{1+x}$的泰勒多项式
在$x=0$附近展开：
$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x + O(x^2).$

步骤3：代入极限表达式
将展开式代入比值：
$\lim_{x \to 0} \frac{n\sqrt{1+x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{n\left(1 + \frac{1}{2}x + O(x^2)\right)}{x}.$

步骤4：分析极限结果
忽略高阶小项$O(x^2)$后，分子为$1 + \frac{1}{2}x$，分母为$x$，因此：
$\lim_{x \to 0} \frac{n\left(1 + \frac{1}{2}x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{n}{x} + \frac{n}{2}\right).$
当$x \to 0$时，$\frac{n}{x}$趋向于无穷大，极限不存在且不等于1。

结论：原命题不成立，答案为B。