15.(本题满分7分)求极限 lim _(xarrow 0)(dfrac (1)({x)^2}-dfrac (1)(xsin x))

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及分式相减的化简、泰勒展开或洛必达法则的应用。

解题核心思路：

1. 通分合并：将两个分式相减转化为单一分式，简化表达式。
2. 分子展开：利用泰勒展开或等价无穷小替换，将分子中的$\sin x - x$展开到足够高阶，找到主导项。
3. 化简求极限：结合分母的展开式，约去高阶无穷小，最终得到极限值。

破题关键点：

• 通分后的分子$\sin x - x$需展开到$x^3$项，才能与分母$x^3$同阶，保证极限存在。
• 泰勒展开或洛必达法则是解决这类“0/0”型不定式的关键工具。

步骤1：通分合并分式
原式为：
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x \sin x} \right)$
通分后得：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^2 \sin x}$

步骤2：泰勒展开分子$\sin x$
将$\sin x$展开到$x^3$项：
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
代入分子$\sin x - x$：
$\sin x - x = -\frac{x^3}{6} + o(x^3)$

步骤3：化简分母
分母$x^2 \sin x$展开为：
$x^2 \sin x = x^2 \left( x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \right) = x^3 - \frac{x^5}{6} + o(x^5) \approx x^3$

步骤4：代入并求极限
将分子和分母代入原式：
$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \left( -\frac{1}{6} + o(1) \right) = -\frac{1}{6}$