题目

设随机变量sim N(0,1)，sim N(0,1)，则sim N(0,1).A.1B.-1C.sim N(0,1)D.0

设随机变量 $X\sim N(0,1)$ ， $Y=X^3$ ，则 $E(Y)=\left(\ \ \ \right)$ .

A.1

B.-1

C. $\sqrt{2}$

D.0

题目解答

答案

$X\sim N(0,1)$ 表示X服从标准正态分布，则X的概率密度函数为 $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}},x\in R$ ，则 $E\left(Y\right)=E\left(X^3\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^3f\left(x\right)dx$ $=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^3}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}=0$ ，因此选择D。

解析

考查要点：本题主要考查标准正态分布的对称性及其奇数次矩的性质。

解题核心思路：
标准正态分布的概率密度函数$f(x)$是偶函数，而$x^3$是奇函数。奇函数与偶函数的乘积是奇函数，在对称区间$(-\infty, +\infty)$上的积分结果为0。因此，$E(X^3) = 0$。

破题关键点：

识别标准正态分布的对称性；
判断被积函数的奇偶性；
利用对称区间上奇函数的积分性质。

步骤1：写出期望的定义式
$E(Y) = E(X^3) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^3 f(x) \, dx$
其中$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$是标准正态分布的概率密度函数。

步骤2：分析被积函数的奇偶性

$f(x)$是偶函数，即$f(-x) = f(x)$；
$x^3$是奇函数，即$(-x)^3 = -x^3$；
因此，$x^3 f(x)$是奇函数（奇函数×偶函数=奇函数）。

步骤3：计算对称区间上的积分
对奇函数在对称区间$(-\infty, +\infty)$积分，结果为0：
$\int_{-\infty}^{+\infty} x^3 f(x) \, dx = 0$

结论：
$E(Y) = 0$，对应选项D。