题目
设X1X2为来自服从参数λ的指数分布的总体的简单随机样本。-|||-记Z=min(X1,X2)21/,对任意给定 in (0,1) ,计算 zleqslant c
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义随机变量Y和W
设$Y=min\{ {X}_{1},{X}_{2}\} $，$W=max\{ {X}_{1},{X}_{2}\} $，其中$X_1$和$X_2$是来自参数为$\lambda$的指数分布的简单随机样本。
步骤 2：求Y的分布函数
因为$X_1$和$X_2$独立且服从参数为$\lambda$的指数分布，所以$Y$的分布函数为：
${F}_{Y}(y)=1-{(1-F(x))}^{2}=1-{(1-{(1-{e}^{-\lambda y})}^{2}=1-{e}^{-2\lambda y}$，$y\gt 0$。
步骤 3：求W的分布函数
$W$的分布函数为：
${F}_{W}(w)={F}^{2}(w)={(1-{e}^{-\lambda w})}^{2}$，$\omega \gt 0$。
步骤 4：计算$P\{ z\leqslant c\} $
$P\{Z\leq c\}=P\{\frac{min\{X_1,X_2\}}{max\{X_1,X_2\}}\leq c\}=P\{min\{X_1,X_2\}\leq c\cdot max\{X_1,X_2\}\}$
$=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{cw}f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2)dx_2dx_1+\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{x_1/c}f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2)dx_2dx_1$
因为$X_1$和$X_2$独立且$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$，所以
$=\int_{0}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x_1}\left(\int_{0}^{cw}\lambda e^{-\lambda x_2}dx_2\right)dx_1+\int_{0}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x_1}\left(\int_{0}^{x_1/c}\lambda e^{-\lambda x_2}dx_2\right)dx_1$
$=\int_{0}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x_1}(1 - e^{-\lambda cw})dx_1+\int_{0}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x_1}(1 - e^{-\lambda x_1/c})dx_1$
$=1 - \frac{1}{1 + c}+\frac{c}{1 + c}$
设$Y=min\{ {X}_{1},{X}_{2}\} $，$W=max\{ {X}_{1},{X}_{2}\} $，其中$X_1$和$X_2$是来自参数为$\lambda$的指数分布的简单随机样本。
步骤 2：求Y的分布函数
因为$X_1$和$X_2$独立且服从参数为$\lambda$的指数分布，所以$Y$的分布函数为：
${F}_{Y}(y)=1-{(1-F(x))}^{2}=1-{(1-{(1-{e}^{-\lambda y})}^{2}=1-{e}^{-2\lambda y}$，$y\gt 0$。
步骤 3：求W的分布函数
$W$的分布函数为：
${F}_{W}(w)={F}^{2}(w)={(1-{e}^{-\lambda w})}^{2}$，$\omega \gt 0$。
步骤 4：计算$P\{ z\leqslant c\} $
$P\{Z\leq c\}=P\{\frac{min\{X_1,X_2\}}{max\{X_1,X_2\}}\leq c\}=P\{min\{X_1,X_2\}\leq c\cdot max\{X_1,X_2\}\}$
$=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{cw}f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2)dx_2dx_1+\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{x_1/c}f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2)dx_2dx_1$
因为$X_1$和$X_2$独立且$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$，所以
$=\int_{0}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x_1}\left(\int_{0}^{cw}\lambda e^{-\lambda x_2}dx_2\right)dx_1+\int_{0}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x_1}\left(\int_{0}^{x_1/c}\lambda e^{-\lambda x_2}dx_2\right)dx_1$
$=\int_{0}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x_1}(1 - e^{-\lambda cw})dx_1+\int_{0}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x_1}(1 - e^{-\lambda x_1/c})dx_1$
$=1 - \frac{1}{1 + c}+\frac{c}{1 + c}$