下列关系式错误的是（ ）A. ln(z_1z_2) = ln z_1 + ln z_2B. mathrm(Ln)(z_1z_2) = mathrm(Ln) z_1 + mathrm(Ln) z_2C. e^mathrm(Ln z) = zD. e^ln z = z

本题主要考察复变函数中对数函数与指数函数的基本性质，需区分多值对数函数$\mathrm{Ln}\,z$与单值分支$\ln\,z$的差异，具体分析如下：

1. 选项A：$\ln(z_1z_2) = \ln z_1 + \ln z_2$

$\ln\,z$是$\mathrm{Ln}\,z$的一个单值分支（通常取主值分支），单值对数函数满足加法性质：对任意两个复数$z_1,z_2$（在分支定义域内），$\ln(z_1z_2)=\ln z_1+\ln z_2$成立。选项A正确。

2. 选项B：$\mathrm{Ln}(z_1z_2) = \mathrm{Ln} z_1 + \mathrm{Ln} z_2$

$\mathrm{Ln}\,z$是多值函数，定义为$\mathrm{Ln}\,z=\ln|z|+i\arg z$，其中$\arg z$是$z$的辐角（多值，相差$2k\pi$，$k\in\mathbb{Z}$）。
对等式右边：$\mathrm{Ln}z_1+\mathrm{Ln}z_2=\left(\ln|z_1|+i\arg z_1\right)+\left(\ln|z_2|+i\arg z_2\right)=\ln|z_1z_2|+i(\arg z_1+\arg z_2)$，其辐角部分为$\arg z_1+\arg z_2$，相差$2k\pi$（$k\in\mathbb{Z}$）。
对等式左边：$\mathrm{Ln}(z_1z_2)=\ln|z_1z_2|+i\arg(z_1z_2)$，而$\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2+2k'\pi$（$k'\in\mathbb{Z}$），但可能相差$2\pi$的整数倍，导致等式不一定对所有分支成立（例如取$z_1=z_2=-1$，$\mathrm{Ln}(-1)=i\pi+2ki\pi$，$\mathrm{Ln}((-1)(-1))=\mathrm{Ln}(1)=2li\pi$，显然$i\pi+2ki\pi+i\pi+2mi\pi=2(i+k+m)\pi\neq2li\pi$对某些$k,m,l$）。选项B错误。

3. 选项C：$e^{\mathrm{Ln} z} = z$

由$\mathrm{Ln}\,z$定义：$e^{\mathrm{Ln}z}=e^{\ln|z|+i\arg z}=|z|e^{i\arg z}=z$（复数的指数形式），对多值$\mathrm{Ln}\,z$仍成立（因$e^{i(\arg z+2k\pi)}=e^{i\arg z}$）。选项C正确。

4. 选项D：$e^{\ln z} = z$

$\ln z$是$\mathrm{Ln}\,z$的单值分支，$e^{\ln z}=e^{\ln|z|+i\theta}=|z|e^{i\theta}=z$（$\theta$为固定辐角），显然成立。选项D正确。