5.设总体 approx b(1,p), X1,X2,···,Xn是来自X的样本.-|||-(1)求(X1,X2,···,xn )的分布律;-|||-(2)求的分布律;-|||-(3)求E(X),D(X),E(S^2).

考查要点

1. 独立同分布二项随机变量之和的分布：利用二项分布的可加性，确定总和的分布类型及参数。
2. 期望与方差的计算：掌握样本均值和样本方差的期望与方差的性质，特别是无偏性。

解题核心思路

• 第（2）题：根据独立同分布的二项分布变量之和的性质，直接应用二项分布的可加性，得出总和的分布形式。
• 第（3）题：利用期望与方差的线性性质，结合样本均值和样本方差的定义，推导其期望与方差。

破题关键点

• 二项分布的可加性：独立同分布的二项分布变量之和仍服从二项分布，参数为总试验次数之和。
• 无偏估计：样本方差采用修正后的公式（分母为$n-1$），确保其无偏性。

第（2）题

关键步骤

1. 独立同分布性质：$X_1, X_2, \cdots, X_n$相互独立且均服从$b(1,p)$。
2. 二项分布的可加性：独立同分布的二项分布变量之和仍服从二项分布，参数为总试验次数之和。
3. 总和的分布：$\sum_{i=1}^{n} X_i \sim b(n,p)$，其分布律为：
   $P\left\{\sum_{i=1}^{n} X_i = k\right\} = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,2,\cdots,n.$

第（3）题

关键步骤

1. 总体矩计算：
   • 期望：$E(X) = p$
   • 方差：$D(X) = p(1-p)$
2. 样本均值的期望与方差：
   • $E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = p$
   • $D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} D(X_i) = \frac{p(1-p)}{n}$
3. 样本方差的无偏性：
   • $E(S^2) = E\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2\right) = D(X) = p(1-p)$