题目
设X服从(0,0]上的均匀分布,X1,X2,···,Xn是取自总体X的一-|||-个简单随机样本,求θ的矩估计量和最大似然估计量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求矩估计量
- 由题意知，X服从(0,θ]上的均匀分布，其概率密度函数为 $f(x;\theta )=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{\theta },\quad 0\lt x\leqslant \theta \\ 0,\end{matrix} \right.$
- 总体X的期望值为 $E(X)=\dfrac {\theta }{2}$，根据矩估计法，用样本均值 $\overline{X}$ 估计总体均值 $E(X)$，即 $\dfrac {\theta }{2}=\overline{X}$，从而得到 $\theta$ 的矩估计量为 $\hat{\theta}_{矩} = 2\overline{X}$。
步骤 2：求最大似然估计量
- 似然函数为 $L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\theta )=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{{\theta }^{n}},0\lt {x}_{1},\cdots ,{x}_{n}\leqslant \theta \\ 0,\end{matrix} \right.$
- 为了使似然函数 $L(\theta)$ 达到最大，$\theta$ 需要尽可能小，但同时要满足 $\theta \geqslant {x}_{1}$，$\cdots$，${x}_{n}$，因此取 $\theta = x_{(n)} = \max\{x_1, \cdots, x_n\}$，从而得到 $\theta$ 的最大似然估计量为 $\hat{\theta}_{最大似然} = X_{(n)} = \max\{X_1, \cdots, X_n\}$。
- 由题意知，X服从(0,θ]上的均匀分布，其概率密度函数为 $f(x;\theta )=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{\theta },\quad 0\lt x\leqslant \theta \\ 0,\end{matrix} \right.$
- 总体X的期望值为 $E(X)=\dfrac {\theta }{2}$，根据矩估计法，用样本均值 $\overline{X}$ 估计总体均值 $E(X)$，即 $\dfrac {\theta }{2}=\overline{X}$，从而得到 $\theta$ 的矩估计量为 $\hat{\theta}_{矩} = 2\overline{X}$。
步骤 2：求最大似然估计量
- 似然函数为 $L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\theta )=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{{\theta }^{n}},0\lt {x}_{1},\cdots ,{x}_{n}\leqslant \theta \\ 0,\end{matrix} \right.$
- 为了使似然函数 $L(\theta)$ 达到最大，$\theta$ 需要尽可能小，但同时要满足 $\theta \geqslant {x}_{1}$，$\cdots$，${x}_{n}$，因此取 $\theta = x_{(n)} = \max\{x_1, \cdots, x_n\}$，从而得到 $\theta$ 的最大似然估计量为 $\hat{\theta}_{最大似然} = X_{(n)} = \max\{X_1, \cdots, X_n\}$。