题目
4. (10.0分) 已知一批零件长度X~N(μ，1)，现随机抽取16个零件，得到长度的平均值为40厘米，则μ的置信水平为0.95的置信区间是____. (标准正态分布函数值Φ(1.96)=0.975，Φ(1.645)=0.95.)第1空请输入答案第2空请输入答案
4. (10.0分)
已知一批零件长度X~N(μ，1)，现随机抽取16个零件，得到长度的平均值为40厘米，则μ的置信水平为0.95的置信区间是____.
(标准正态分布函数值Φ(1.96)=0.975，Φ(1.645)=0.95.)
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题目解答
答案
为了找到总体均值 $\mu$ 的置信水平为0.95的置信区间，我们使用以下公式：
\[
\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
其中：
- $\bar{X}$ 是样本均值，
- $z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的临界值，对应于置信水平，
- $\sigma$ 是总体标准差，
- $n$ 是样本大小。
在这个问题中：
- 样本均值 $\bar{X} = 40$ 厘米，
- 总体标准差 $\sigma = \sqrt{1} = 1$ 厘米，
- 样本大小 $n = 16$，
- 置信水平是0.95，所以 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ 且 $z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$。
将这些值代入公式，我们得到：
\[
40 \pm 1.96 \cdot \frac{1}{\sqrt{16}}
\]
首先，计算标准误差：
\[
\frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4} = 0.25
\]
接下来，计算边际误差：
\[
1.96 \cdot 0.25 = 0.49
\]
现在，可以写出置信区间：
\[
40 \pm 0.49
\]
这给出了区间：
\[
(40 - 0.49, 40 + 0.49) = (39.51, 40.49)
\]
因此，$\mu$ 的置信水平为0.95的置信区间是 $\boxed{(39.51, 40.49)}$。
解析
考查要点：本题主要考查正态总体均值的置信区间计算，涉及总体方差已知时的Z区间构造方法。
解题核心思路：
- 确定置信区间公式：当总体方差已知时，使用公式 $\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
- 选择临界值：根据置信水平0.95，确定双侧临界值 $z_{\alpha/2} = 1.96$（对应 $\Phi(1.96)=0.975$）。
- 代入已知数据：样本均值 $\bar{X}=40$，总体标准差 $\sigma=1$，样本量 $n=16$，计算标准误差和边际误差，最终得到区间。
破题关键点：
- 区分单侧与双侧临界值：题目中Φ(1.645)=0.95对应单侧95%置信度，但本题需双侧，故选择1.96。
- 正确计算标准误差：$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1}{4}$。
步骤1：确定置信区间公式
总体方差已知时，均值μ的置信区间公式为：
$\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
步骤2：确定临界值 $z_{\alpha/2}$
- 置信水平 $1-\alpha = 0.95$，故 $\alpha = 0.05$。
- 双侧检验下，$\alpha/2 = 0.025$，查标准正态分布表得 $z_{0.025} = 1.96$（因 $\Phi(1.96)=0.975$）。
步骤3：代入已知数据
- 样本均值 $\bar{X} = 40$，总体标准差 $\sigma = \sqrt{1} = 1$，样本量 $n = 16$。
- 标准误差：$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1}{4} = 0.25$。
- 边际误差：$z_{\alpha/2} \cdot 0.25 = 1.96 \cdot 0.25 = 0.49$。
步骤4：计算置信区间
$40 \pm 0.49 \quad \Rightarrow \quad (39.51, 40.49)$