分别用切比雪夫不等式和中心极限定理估计,当掷一枚均匀硬币时,需掷多少次,-|||-才能保证使得出现正面的频率在 .4sim 0.6 之间的概率不小于90%?

步骤 1：切比雪夫不等式估计
切比雪夫不等式指出，对于任意随机变量 $X$，其期望值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$，则对于任意正数 $\epsilon$，有
$$
P(|X-\mu|\geq \epsilon)\leq \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}
$$
掷一枚均匀硬币，正面出现的概率为 $p=0.5$，设 $n$ 次试验中正面出现的次数为 $X$，则 $X$ 服从二项分布 $B(n,0.5)$，期望值为 $\mu=np=0.5n$，方差为 $\sigma^2=np(1-p)=0.25n$。要使得出现正面的频率在 $0.4\sim 0.6$ 之间的概率不小于90%，即
$$
P(0.4n\leq X\leq 0.6n)\geq 0.9
$$
等价于
$$
P(|X-0.5n|\leq 0.1n)\geq 0.9
$$
根据切比雪夫不等式，有
$$
P(|X-0.5n|\geq 0.1n)\leq \frac{0.25n}{(0.1n)^2}=\frac{25}{n}
$$
因此，要使得 $P(|X-0.5n|\leq 0.1n)\geq 0.9$，则需要
$$
\frac{25}{n}\leq 0.1
$$
解得 $n\geq 250$。
步骤 2：中心极限定理估计
中心极限定理指出，对于任意随机变量 $X$，其期望值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$，则当 $n$ 足够大时，$X$ 的标准化变量
$$
Z=\frac{X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}
$$
近似服从标准正态分布 $N(0,1)$。掷一枚均匀硬币，正面出现的概率为 $p=0.5$，设 $n$ 次试验中正面出现的次数为 $X$，则 $X$ 服从二项分布 $B(n,0.5)$，期望值为 $\mu=np=0.5n$，方差为 $\sigma^2=np(1-p)=0.25n$。要使得出现正面的频率在 $0.4\sim 0.6$ 之间的概率不小于90%，即
$$
P(0.4n\leq X\leq 0.6n)\geq 0.9
$$
等价于
$$
P(|X-0.5n|\leq 0.1n)\geq 0.9
$$
根据中心极限定理，有
$$
P(|X-0.5n|\leq 0.1n)=P\left(-\frac{0.1n}{\sqrt{0.25n}}\leq Z\leq \frac{0.1n}{\sqrt{0.25n}}\right)
$$
其中 $Z$ 近似服从标准正态分布 $N(0,1)$。查标准正态分布表，可得
$$
P\left(-\frac{0.1n}{\sqrt{0.25n}}\leq Z\leq \frac{0.1n}{\sqrt{0.25n}}\right)\geq 0.9
$$
等价于
$$
\frac{0.1n}{\sqrt{0.25n}}\geq 1.645
$$
解得 $n\geq 68$。