题目

2. (20.0分) 从一个正态总体中随机抽取样本容量n=20的样本，已知样本标准差s=3，请给出总体方差的90%的置信区间。 请输入答案

2. (20.0分) 从一个正态总体中随机抽取样本容量n=20的样本，已知样本标准差s=3，请给出总体方差的90%的置信区间。 请输入答案

题目解答

答案

为了求出总体方差的90%的置信区间，我们需要使用卡方分布。卡方分布的自由度为 $ n-1 $，其中 $ n $ 是样本容量。在这个问题中， $ n = 20 $，所以自由度为 $ 19 $。 总体方差 $ \sigma^2 $ 的置信区间公式为： \[ \left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}} \right) \] 其中 $ s $ 是样本标准差， $ \chi^2_{\alpha/2, n-1} $ 和 $ \chi^2_{1-\alpha/2, n-1} $ 分别是自由度为 $ n-1 $ 的卡方分布的上 $ \alpha/2 $ 分位点和下 $ \alpha/2 $ 分位点。对于90%的置信区间， $ \alpha = 1 - 0.90 = 0.10 $，所以 $ \alpha/2 = 0.05 $。 我们需要找到 $ \chi^2_{0.05, 19} $ 和 $ \chi^2_{0.95, 19} $。使用卡方分布表或统计软件，我们得到： \[ \chi^2_{0.05, 19} = 30.1435 \quad \text{和} \quad \chi^2_{0.95, 19} = 10.1170 \] 现在，我们可以将这些值代入置信区间公式。已知 $ s = 3 $ 和 $ n-1 = 19 $，所以 $ s^2 = 9 $。因此，置信区间为： \[ \left( \frac{19 \times 9}{30.1435}, \frac{19 \times 9}{10.1170} \right) = \left( \frac{171}{30.1435}, \frac{171}{10.1170} \right) \approx (5.67, 16.89) \] 所以，总体方差的90%的置信区间是： \[ \boxed{(5.67, 16.90)} \]

解析

考查要点：本题主要考查正态总体方差的置信区间的计算，需要掌握卡方分布的应用及分位数的查找方法。

解题核心思路：

  1. 确定分布：正态总体方差的置信区间基于卡方分布构造。
  2. 计算自由度：自由度为样本容量减1，即 $n-1=19$。
  3. 查找分位数：根据置信水平90%（对应 $\alpha=0.10$），找到卡方分布的上下分位数 $\chi^2_{0.05,19}$ 和 $\chi^2_{0.95,19}$。
  4. 代入公式：利用公式 $\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}} \right)$ 计算区间。

破题关键：正确识别分位数的上下侧位置，并准确代入公式计算。

步骤1：确定参数与公式

  • 样本容量 $n=20$，自由度 $df = n-1 = 19$。
  • 置信水平 $1-\alpha=90\%$，故 $\alpha=0.10$，$\alpha/2=0.05$。
  • 总体方差置信区间公式：
    $\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, df}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, df}} \right)$

步骤2：查找卡方分位数

  • 上分位数 $\chi^2_{0.05,19} = 30.1435$（右尾概率0.05）。
  • 下分位数 $\chi^2_{0.95,19} = 10.1170$（右尾概率0.95，等价于左尾0.05）。

步骤3：代入公式计算

  • 分子计算：$(n-1)s^2 = 19 \times 3^2 = 171$。
  • 区间下限：$\frac{171}{30.1435} \approx 5.67$。
  • 区间上限：$\frac{171}{10.1170} \approx 16.90$。