题目
(2)设样本X1,X2,···,X5来自总体N(0,1), =dfrac (C({X)_(1)+(X)_(2))}(sqrt {{{X)_(3)}^2+({X)_(4)}^2+({X)_(5)}^2}} 试确定常数C使Y-|||-服从t分布.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定分子的分布
由于 $X_1$ 和 $X_2$ 是来自总体 $N(0,1)$ 的样本，因此 $X_1 + X_2$ 服从 $N(0,2)$。因此，$C(X_1 + X_2)$ 服从 $N(0,2C^2)$。
步骤 2：确定分母的分布
由于 $X_3, X_4, X_5$ 是来自总体 $N(0,1)$ 的样本，因此 $X_3^2, X_4^2, X_5^2$ 服从 $\chi^2(1)$ 分布。因此，$X_3^2 + X_4^2 + X_5^2$ 服从 $\chi^2(3)$ 分布。所以，$\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}$ 服从 $\chi(3)$ 分布。
步骤 3：确定Y的分布
根据t分布的定义，如果 $Z$ 服从 $N(0,1)$，$W$ 服从 $\chi^2(n)$，且 $Z$ 和 $W$ 独立，则 $\frac{Z}{\sqrt{W/n}}$ 服从 $t(n)$ 分布。因此，为了使 $Y$ 服从 $t$ 分布，我们需要 $C(X_1 + X_2)$ 服从 $N(0,1)$，即 $2C^2 = 1$，从而得到 $C = \sqrt{1/2}$。但是，由于分母是 $\chi(3)$ 分布，我们需要 $C(X_1 + X_2)$ 服从 $N(0,3/2)$，即 $2C^2 = 3/2$，从而得到 $C = \sqrt{3/4}$。因此，$C = \sqrt{3/2}$。
由于 $X_1$ 和 $X_2$ 是来自总体 $N(0,1)$ 的样本，因此 $X_1 + X_2$ 服从 $N(0,2)$。因此，$C(X_1 + X_2)$ 服从 $N(0,2C^2)$。
步骤 2：确定分母的分布
由于 $X_3, X_4, X_5$ 是来自总体 $N(0,1)$ 的样本，因此 $X_3^2, X_4^2, X_5^2$ 服从 $\chi^2(1)$ 分布。因此，$X_3^2 + X_4^2 + X_5^2$ 服从 $\chi^2(3)$ 分布。所以，$\sqrt{X_3^2 + X_4^2 + X_5^2}$ 服从 $\chi(3)$ 分布。
步骤 3：确定Y的分布
根据t分布的定义，如果 $Z$ 服从 $N(0,1)$，$W$ 服从 $\chi^2(n)$，且 $Z$ 和 $W$ 独立，则 $\frac{Z}{\sqrt{W/n}}$ 服从 $t(n)$ 分布。因此，为了使 $Y$ 服从 $t$ 分布，我们需要 $C(X_1 + X_2)$ 服从 $N(0,1)$，即 $2C^2 = 1$，从而得到 $C = \sqrt{1/2}$。但是，由于分母是 $\chi(3)$ 分布，我们需要 $C(X_1 + X_2)$ 服从 $N(0,3/2)$，即 $2C^2 = 3/2$，从而得到 $C = \sqrt{3/4}$。因此，$C = \sqrt{3/2}$。