若A B为同阶可逆矩阵,则(A+B)^-1=A^-1+B^-1。 A. 对B. 错:错

考查要点：本题主要考查矩阵运算中逆矩阵的性质，特别是矩阵加法与逆运算之间的关系。

解题核心思路：
矩阵的逆运算不满足分配律，即$(A+B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1}$。即使$A$和$B$均为可逆矩阵，该等式一般不成立。可通过构造反例或代数推导验证。

破题关键点：

1. 理解逆矩阵的定义：若$A$可逆，则$A^{-1}$满足$A A^{-1} = A^{-1} A = I$。
2. 矩阵加法与乘法的非交换性：矩阵加法与乘法的顺序会影响结果，且逆矩阵的运算不遵循标量运算的规则。
3. 反例验证：通过具体矩阵（如单位矩阵）构造反例，直接验证等式不成立。

步骤1：构造反例
设$A = I$，$B = I$（$I$为单位矩阵），则$A$和$B$均为可逆矩阵，且$A^{-1} = I$，$B^{-1} = I$。
计算$A + B = I + I = 2I$，其逆矩阵为$(2I)^{-1} = \frac{1}{2}I$。
而$A^{-1} + B^{-1} = I + I = 2I$。
显然，$\frac{1}{2}I \neq 2I$，故等式不成立。

步骤2：代数推导
假设$(A+B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}$，两边左乘$(A+B)$得：
$I = (A^{-1} + B^{-1})(A + B).$
展开右边：
$A^{-1}A + A^{-1}B + B^{-1}A + B^{-1}B = I + A^{-1}B + B^{-1}A + I = 2I + A^{-1}B + B^{-1}A.$
若等式成立，则需$2I + A^{-1}B + B^{-1}A = I$，即$I + A^{-1}B + B^{-1}A = 0$，这在一般情况下不成立。