题目
设随机变量 X 服从正态分布 N(mu, sigma^2)，则随 sigma 的增大，概率 P|X-mu|A. 单调增大.B. 单调减小.C. 保持不变.D. 非单调变化.
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，则随 $\sigma$ 的增大，概率 $P\{|X-\mu|< \sigma\}$（）
A. 单调增大.
B. 单调减小.
C. 保持不变.
D. 非单调变化.
题目解答
答案
C. 保持不变.
解析
步骤 1：标准化变换
设 $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $，则 $ Z $ 服从标准正态分布 $ N(0, 1) $。这是因为正态分布的标准化变换将随机变量 $X$ 转换为标准正态分布的随机变量 $Z$，其中 $Z$ 的均值为0，方差为1。
步骤 2：概率转换
概率 $ P\{ |X - \mu| < \sigma \} $ 可转换为：\[ P\{ -1 < Z < 1 \} \]。这是因为 $|X - \mu| < \sigma$ 等价于 $-\sigma < X - \mu < \sigma$，进一步等价于 $-1 < \frac{X - \mu}{\sigma} < 1$，即 $-1 < Z < 1$。
步骤 3：标准正态分布的性质
该概率对应标准正态分布中区间 $(-1, 1)$ 的面积，为常数（约0.6826），与 $\sigma$ 无关。这是因为标准正态分布的形状和面积是固定的，不随 $\sigma$ 的变化而变化。
设 $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $，则 $ Z $ 服从标准正态分布 $ N(0, 1) $。这是因为正态分布的标准化变换将随机变量 $X$ 转换为标准正态分布的随机变量 $Z$，其中 $Z$ 的均值为0，方差为1。
步骤 2：概率转换
概率 $ P\{ |X - \mu| < \sigma \} $ 可转换为：\[ P\{ -1 < Z < 1 \} \]。这是因为 $|X - \mu| < \sigma$ 等价于 $-\sigma < X - \mu < \sigma$，进一步等价于 $-1 < \frac{X - \mu}{\sigma} < 1$，即 $-1 < Z < 1$。
步骤 3：标准正态分布的性质
该概率对应标准正态分布中区间 $(-1, 1)$ 的面积，为常数（约0.6826），与 $\sigma$ 无关。这是因为标准正态分布的形状和面积是固定的，不随 $\sigma$ 的变化而变化。