题目
例2 设X_(1),X_(2),X_(3),X_(4)为来自正态总体N(0,4)的简单随机样本，记X=a(X_(1)-2X_(2))^2+b(3X_(3)-4X_(4))^2，则当a=_，b=_时，Xsim X^2，其自由度为_。
例2 设$X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$为来自正态总体N(0,4)的简单随机样本，
记$X=a(X_{1}-2X_{2})^{2}+b(3X_{3}-4X_{4})^{2}$，则当a=_，
b=_时，$X\sim X^{2}$，其自由度为_。
题目解答
答案
1. **计算方差**：
$X_1 - 2X_2 \sim N(0, 20)$，$3X_3 - 4X_4 \sim N(0, 100)$。
2. **标准化**：
$\frac{X_1 - 2X_2}{\sqrt{20}} \sim N(0, 1)$，$\frac{3X_3 - 4X_4}{10} \sim N(0, 1)$。
3. **构造 $\chi^2$ 统计量**：
$\left( \frac{X_1 - 2X_2}{\sqrt{20}} \right)^2 + \left( \frac{3X_3 - 4X_4}{10} \right)^2 \sim \chi^2(2)$。
4. **确定系数**：
$a = \frac{1}{20}$，$b = \frac{1}{100}$。
**答案**：
\[
\boxed{a = \frac{1}{20}, \quad b = \frac{1}{100}, \quad \text{自由度为 } 2}
\]
解析
步骤 1：计算方差
$X_1 - 2X_2$ 和 $3X_3 - 4X_4$ 的方差分别为：
\[ \text{Var}(X_1 - 2X_2) = \text{Var}(X_1) + 4\text{Var}(X_2) = 4 + 4 \times 4 = 20 \]
\[ \text{Var}(3X_3 - 4X_4) = 9\text{Var}(X_3) + 16\text{Var}(X_4) = 9 \times 4 + 16 \times 4 = 100 \]
步骤 2：标准化
将 $X_1 - 2X_2$ 和 $3X_3 - 4X_4$ 标准化为标准正态分布：
\[ \frac{X_1 - 2X_2}{\sqrt{20}} \sim N(0, 1) \]
\[ \frac{3X_3 - 4X_4}{10} \sim N(0, 1) \]
步骤 3：构造 $\chi^2$ 统计量
构造 $\chi^2$ 统计量，使其自由度为2：
\[ \left( \frac{X_1 - 2X_2}{\sqrt{20}} \right)^2 + \left( \frac{3X_3 - 4X_4}{10} \right)^2 \sim \chi^2(2) \]
步骤 4：确定系数
根据构造的 $\chi^2$ 统计量，确定系数 $a$ 和 $b$：
\[ a = \frac{1}{20} \]
\[ b = \frac{1}{100} \]
$X_1 - 2X_2$ 和 $3X_3 - 4X_4$ 的方差分别为：
\[ \text{Var}(X_1 - 2X_2) = \text{Var}(X_1) + 4\text{Var}(X_2) = 4 + 4 \times 4 = 20 \]
\[ \text{Var}(3X_3 - 4X_4) = 9\text{Var}(X_3) + 16\text{Var}(X_4) = 9 \times 4 + 16 \times 4 = 100 \]
步骤 2：标准化
将 $X_1 - 2X_2$ 和 $3X_3 - 4X_4$ 标准化为标准正态分布：
\[ \frac{X_1 - 2X_2}{\sqrt{20}} \sim N(0, 1) \]
\[ \frac{3X_3 - 4X_4}{10} \sim N(0, 1) \]
步骤 3：构造 $\chi^2$ 统计量
构造 $\chi^2$ 统计量，使其自由度为2：
\[ \left( \frac{X_1 - 2X_2}{\sqrt{20}} \right)^2 + \left( \frac{3X_3 - 4X_4}{10} \right)^2 \sim \chi^2(2) \]
步骤 4：确定系数
根据构造的 $\chi^2$ 统计量，确定系数 $a$ 和 $b$：
\[ a = \frac{1}{20} \]
\[ b = \frac{1}{100} \]