已知X_(1)和X_(2)是两个相互独立的随机变量，分布函数分别为F_(1)(x)和F_(2)(x)，则下列选项一定是某一随机变量分布函数的为（）A. F_(1)(x)+ F_(2)(x)B. F_(1)(x)- F_(2)(x)C. F_(1)(x)cdot F_(2)(x)D. (F_(1)(x))/(F_(2)(x))

考查要点：本题主要考查分布函数的基本性质及其组合形式是否满足分布函数的条件，同时涉及独立随机变量的联合分布。

解题核心思路：

1. 分布函数的性质：需满足非递减性、右连续性、极限条件（$\lim_{x \to -\infty} F(x)=0$，$\lim_{x \to +\infty} F(x)=1$）。
2. 排除法：逐一验证选项是否满足上述性质。
3. 独立随机变量的乘积：若$X_1$和$X_2$独立，则$\max(X_1, X_2)$的分布函数为$F_1(x) \cdot F_2(x)$，直接对应选项C。

破题关键点：

• 极限条件：直接排除A（极限为2）、B（极限为0）、D（极限不确定）。
• 非递减性：乘积函数的非递减性需通过独立性推导。
• 构造实例：通过$\max(X_1, X_2)$说明选项C的实际存在性。

选项分析

选项A：$F_1(x) + F_2(x)$

• 极限条件：当$x \to +\infty$时，$F_1(x) + F_2(x) \to 1 + 1 = 2 \neq 1$，不满足分布函数的极限条件，排除。

选项B：$F_1(x) - F_2(x)$

• 极限条件：当$x \to +\infty$时，$F_1(x) - F_2(x) \to 1 - 1 = 0 \neq 1$，不满足极限条件，排除。

选项C：$F_1(x) \cdot F_2(x)$

1. 极限条件：
   • 当$x \to -\infty$时，$F_1(x) \cdot F_2(x) \to 0 \cdot 0 = 0$；
   • 当$x \to +\infty$时，$F_1(x) \cdot F_2(x) \to 1 \cdot 1 = 1$。
2. 非递减性：
   若$x_1 < x_2$，则$F_1(x_1) \leq F_1(x_2)$，$F_2(x_1) \leq F_2(x_2)$，因此：
   $F_1(x_1)F_2(x_1) \leq F_1(x_2)F_2(x_1) \leq F_1(x_2)F_2(x_2).$
3. 右连续性：
   分布函数的乘积保持右连续性。
4. 构造实例：
   若$X = \max(X_1, X_2)$，则：
   $F_X(x) = P(X \leq x) = P(X_1 \leq x, X_2 \leq x) = F_1(x)F_2(x).$
   因此，$F_1(x)F_2(x)$是有效的分布函数。

选项D：$\frac{F_1(x)}{F_2(x)}$

• 极限条件：当$x \to -\infty$时，$F_2(x) \to 0$，导致$\frac{F_1(x)}{F_2(x)}$可能趋向无穷大或未定式，不满足极限为0的条件。
• 非递减性：无法保证比值非递减，排除。