题目
【题目】对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量,设一个学生无家长,1名家长,2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15,若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布1)求参加会议的家长数X超过450概率2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率
【题目】对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量,设一个学生无家长,1名家长,2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15,若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布1)求参加会议的家长数X超过450概率2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率
题目解答
答案
【解析】解:(1)令X表示第i个学生出席家长会的家长人数，i=1，2，..,400，则E(X_i)=0*0.05+1*0.8+2*0.15=1.1 ,D(X_i)=0^2*0.05+1^2*0.8+2^2*0.15-1.1^2=0.19 .由中心极限定理,知所以P(450∑_(i=1)^((40)/)(√(76))≤800J=P_1^2(450-440)/(√(76))(∑_(i=1)^(10))/(√(7故出席会议的家长总人数超过450的概率是0.1257.(2)令Y表示只有1名家长出席会议的学生数，则Y~b(400,0.8),由棣莫佛-拉普拉斯定理，知所以P(O≤Y≤340)=P((0-320)/8≤(Y-320)/8≤(340-320)/8=Φ(2.5)-Φ(-40)=0.9938 340-320故只有1名家长出席会议的学生数不多于340的概率是0.9938.
解析
【解析】
步骤 1：计算单个学生家长数的期望和方差
设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15。则单个学生家长数的期望E(X_i)和方差D(X_i)分别为：
E(X_i) = 0*0.05 + 1*0.8 + 2*0.15 = 1.1
D(X_i) = 0^2*0.05 + 1^2*0.8 + 2^2*0.15 - 1.1^2 = 0.19
步骤 2：计算总家长数的期望和方差
设学校共有400名学生，各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。则总家长数的期望E(X)和方差D(X)分别为：
E(X) = 400 * E(X_i) = 400 * 1.1 = 440
D(X) = 400 * D(X_i) = 400 * 0.19 = 76
步骤 3：计算家长数超过450的概率
由中心极限定理，总家长数X近似服从正态分布N(440, 76)。则家长数超过450的概率为：
P(X > 450) = P((X - 440) / √76 > (450 - 440) / √76) = P(Z > 1.15) = 1 - Φ(1.15) = 0.1251
步骤 4：计算有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率
设Y表示只有1名家长来参加会议的学生数，则Y~b(400, 0.8)。由棣莫佛-拉普拉斯定理，Y近似服从正态分布N(320, 64)。则有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率为：
P(Y ≤ 340) = P((Y - 320) / 8 ≤ (340 - 320) / 8) = P(Z ≤ 2.5) = Φ(2.5) = 0.9938
步骤 1：计算单个学生家长数的期望和方差
设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15。则单个学生家长数的期望E(X_i)和方差D(X_i)分别为：
E(X_i) = 0*0.05 + 1*0.8 + 2*0.15 = 1.1
D(X_i) = 0^2*0.05 + 1^2*0.8 + 2^2*0.15 - 1.1^2 = 0.19
步骤 2：计算总家长数的期望和方差
设学校共有400名学生，各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。则总家长数的期望E(X)和方差D(X)分别为：
E(X) = 400 * E(X_i) = 400 * 1.1 = 440
D(X) = 400 * D(X_i) = 400 * 0.19 = 76
步骤 3：计算家长数超过450的概率
由中心极限定理，总家长数X近似服从正态分布N(440, 76)。则家长数超过450的概率为：
P(X > 450) = P((X - 440) / √76 > (450 - 440) / √76) = P(Z > 1.15) = 1 - Φ(1.15) = 0.1251
步骤 4：计算有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率
设Y表示只有1名家长来参加会议的学生数，则Y~b(400, 0.8)。由棣莫佛-拉普拉斯定理，Y近似服从正态分布N(320, 64)。则有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率为：
P(Y ≤ 340) = P((Y - 320) / 8 ≤ (340 - 320) / 8) = P(Z ≤ 2.5) = Φ(2.5) = 0.9938