设总体X服从正态分布N(m,1)，N(m,1)为一个样本，（1）试验证N(m,1)，N(m,1)都是m的无偏估计量；（2）哪一个估计量更有效？

考查要点：本题主要考查无偏估计量的验证及估计量有效性的比较。
解题思路：

1. 无偏性验证：计算估计量的期望，若等于参数$m$，则为无偏估计量。
2. 有效性比较：计算估计量的方差，方差更小的估计量更有效。
   关键点：

• 线性组合的期望与方差：利用期望的线性性及独立变量方差的可加性。
• 方差比较：通过系数平方和判断方差大小。

第（1）题：验证无偏性

计算$E(m_1)$

$\begin{aligned}E(m_1) &= E\left(\frac{1}{4}X_1 + \frac{1}{2}X_2 + \frac{1}{4}X_3\right) \\&= \frac{1}{4}E(X_1) + \frac{1}{2}E(X_2) + \frac{1}{4}E(X_3) \\&= \frac{1}{4}m + \frac{1}{2}m + \frac{1}{4}m = m.\end{aligned}$

计算$E(m_2)$

$\begin{aligned}E(m_2) &= E\left(\frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3\right) \\&= \frac{1}{3}E(X_1) + \frac{1}{3}E(X_2) + \frac{1}{3}E(X_3) \\&= \frac{1}{3}m + \frac{1}{3}m + \frac{1}{3}m = m.\end{aligned}$

结论：$m_1$和$m_2$均为$m$的无偏估计量。

第（2）题：比较有效性

计算$D(m_1)$

$\begin{aligned}D(m_1) &= D\left(\frac{1}{4}X_1 + \frac{1}{2}X_2 + \frac{1}{4}X_3\right) \\&= \left(\frac{1}{4}\right)^2 D(X_1) + \left(\frac{1}{2}\right)^2 D(X_2) + \left(\frac{1}{4}\right)^2 D(X_3) \\&= \frac{1}{16} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{16} \cdot 1 = \frac{3}{8}.\end{aligned}$

计算$D(m_2)$

$\begin{aligned}D(m_2) &= D\left(\frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3\right) \\&= 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 D(X_1) \\&= 3 \cdot \frac{1}{9} \cdot 1 = \frac{1}{3}.\end{aligned}$

比较方差

$\frac{3}{8} = 0.375 > \frac{1}{3} \approx 0.333$，因此$m_2$更有效。