用高斯消去法解下列方程组。(1) } 2x_1 + x_2 + x_3 = 4 x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 6 x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 5

要使用高斯消去法解方程组，需通过行变换将增广矩阵化为行阶梯形，再回代求解。以下是详细步骤：

步骤1：写出方程组的增广矩阵

原方程组为：
$\begin{cases}2x_1 + x_2 + x_3 = 4 \\x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 6 \\x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 5\end{cases}$
对应的增广矩阵（系数矩阵+常数项列）为：
$\begin{pmatrix}2 & 1 & 1 & \vdots & 4 \\1 & 3 & 2 & \vdots & 6 \\1 & 2 & 2 & \vdots & 5\end{pmatrix}$

步骤2：行变换化为行阶梯形

行阶梯形的核心是“主元下方元素全为0”（主元是每行第一个非零元素）。

第一步：交换行，使第一行主元更简单

交换第1行和第2行（让第一行第一个元素为1，方便后续消元）：
$\begin{pmatrix}1 & 3 & 2 & \vdots & 6 \\2 & 1 & 1 & \vdots & 4 \\1 & 2 & 2 & \vdots & 5\end{pmatrix}$

第二步：消去第一列下方元素（第2、3行的第一个元素）

• 消去第2行第1列：第2行 $-$ 2×第1行（$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$）
  计算：
  第2行原为 $(2,1,1,\vdots,4)$，$2R_1 = (2,6,4,\vdots,12)$，
  所以 $R_2 - 2R_1 = (2-2,\ 1-6,\ 1-4,\ \vdots,\ 4-12) = (0,\ -5,\ -3,\ \vdots,\ -8)$。

• 消去第3行第1列：第3行 $-$ 第1行（$R_3 \leftarrow R_3 - R_1$）
  计算：
  第3行原为 $(1,2,2,\vdots,5)$，$R_1 = (1,3,2,\vdots,6)$，
  所以 $R_3 - R_1 = (1-1,\ 2-3,\ 2-2,\ \vdots,\ 5-6) = (0,\ -1,\ 0,\ \vdots,\ -1)$。

此时增广矩阵变为：
$\begin{pmatrix}1 & 3 & 2 & \vdots & 6 \\0 & -5 & -3 & \vdots & -8 \\0 & -1 & 0 & \vdots & -1\end{pmatrix}$

第三步：交换行，使第二行主元更简单

交换第2行和第3行（让第二行第二个元素为$-1$，方便后续消元）：
$\begin{pmatrix}1 & 3 & 2 & \vdots & 6 \\0 & -1 & 0 & \vdots & -1 \\0 & -5 & -3 & \vdots & -8\end{pmatrix}$

第四步：消去第二列下方元素（第3行的第二个元素）

消去第3行第2列：第3行 $-$ 5×第2行（$R_3 \leftarrow R_3 - 5R_2$）
计算：
第3行原为 $(0,-5,-3,\vdots,-8)$，$5R_2 = (0,-5,0,\vdots,-5)$，
所以 $R_3 - 5R_2 = (0-0,\ -5 - (-5),\ -3 - 0,\ \vdots,\ -8 - (-5)) = (0,\ 0,\ -3,\ \vdots,\ -3)$。

此时增广矩阵化为行阶梯形：
$\begin{pmatrix}1 & 3 & 2 & \vdots & 6 \\0 & -1 & 0 & \vdots & -1 \\0 & 0 & -3 & \vdots & -3\end{pmatrix}$

步骤3：回代求解

行阶梯形对应的方程组为：
$\begin{cases}x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 6 \quad (1) \\-x_2 = -1 \quad (2) \\-3x_3 = -3 \quad (3)\end{cases}$

• 由方程$(3)$：$-3x_3 = -3 \implies \boldsymbol{x_3 = 1}$。
• 由方程$(2)$：$-x_2 = -1 \implies \boldsymbol{x_2 = 1}$。
• 将$x_2=1$、$x_3=1$代入方程$(1)$：
  $x_1 + 3 \times 1 + 2 \times 1 = 6 \implies x_1 + 5 = 6 \implies \boldsymbol{x_1 = 1}$。

最终解

方程组的解为 $\boldsymbol{x_1 = 1,\ x_2 = 1,\ x_3 = 1}$。