题目
在总体N(450 , 1000)中随机抽取一容量10的样本，求样本均值落在 435 到 465 之间的概率
在总体N(450 , 1000)中随机抽取一容量10的样本，求样本均值
落在 435 到 465 之间的概率
题目解答
答案
由题意知
。由正态分布标准化知
。因此
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。对于总体N(450, 1000)，样本容量为10，样本均值的分布为N(450, 1000/10) = N(450, 100)。
步骤 2：标准化样本均值
为了计算样本均值落在435到465之间的概率，需要将样本均值标准化。标准化后的样本均值服从标准正态分布N(0, 1)。标准化公式为：$Z = \dfrac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，其中$\overline{X}$是样本均值，$\mu$是总体均值，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本容量。将$\overline{X} = 435$和$\overline{X} = 465$代入公式，得到$Z_1 = \dfrac{435 - 450}{\sqrt{100}} = -1.5$和$Z_2 = \dfrac{465 - 450}{\sqrt{100}} = 1.5$。
步骤 3：计算概率
根据标准正态分布表，$P(Z < -1.5) = 0.0668$，$P(Z < 1.5) = 0.9332$。因此，样本均值落在435到465之间的概率为$P(435 < \overline{X} < 465) = P(-1.5 < Z < 1.5) = P(Z < 1.5) - P(Z < -1.5) = 0.9332 - 0.0668 = 0.8664$。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。对于总体N(450, 1000)，样本容量为10，样本均值的分布为N(450, 1000/10) = N(450, 100)。
步骤 2：标准化样本均值
为了计算样本均值落在435到465之间的概率，需要将样本均值标准化。标准化后的样本均值服从标准正态分布N(0, 1)。标准化公式为：$Z = \dfrac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，其中$\overline{X}$是样本均值，$\mu$是总体均值，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本容量。将$\overline{X} = 435$和$\overline{X} = 465$代入公式，得到$Z_1 = \dfrac{435 - 450}{\sqrt{100}} = -1.5$和$Z_2 = \dfrac{465 - 450}{\sqrt{100}} = 1.5$。
步骤 3：计算概率
根据标准正态分布表，$P(Z < -1.5) = 0.0668$，$P(Z < 1.5) = 0.9332$。因此，样本均值落在435到465之间的概率为$P(435 < \overline{X} < 465) = P(-1.5 < Z < 1.5) = P(Z < 1.5) - P(Z < -1.5) = 0.9332 - 0.0668 = 0.8664$。