题目
1、设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X是随机变量，它在[2000，4000]（单位：吨）上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需保养费1万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。
1、设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X是随机变量，它在[2000，4000]（单位：吨）上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需保养费1万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。
题目解答
答案
设组织货源 $y$ 吨（$2000 \leq y \leq 4000$），需求量 $X$ 服从 $[2000, 4000]$ 上的均匀分布，概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{2000}$。收益函数 $Y$ 为：
\[
Y = \begin{cases}
3y & X \geq y \\
4X - y & X < y
\end{cases}
\]
期望收益 $E(Y)$ 为：
\[
E(Y) = \int_{2000}^{y} (4x - y) \frac{1}{2000} \, dx + \int_{y}^{4000} 3y \frac{1}{2000} \, dx
\]
计算得：
\[
E(Y) = \frac{-2y^2 + 14000y - 8000000}{2000} = -\frac{y^2}{1000} + 7y - 4000
\]
求导并令导数为零：
\[
-\frac{y}{500} + 7 = 0 \implies y = 3500
\]
二阶导数为负，故 $y = 3500$ 时 $E(Y)$ 最大。
**答案：** 组织货源 $\boxed{3500}$ 吨。