14.（填空题，4.0分）设总体X服从指数分布Exp(λ)，其中λ>0是未知参数.若从该总体中抽取容量为8的样本，其观测值为：1，3，3，2，6，5，7，9，则λ的最大似然估计值为_____.(请用最简分数表示，如1/3)

本题考查指数分布参数的最大似然估计。解题思路是先根据指数分布的概率密度函数写出似然函数，再对似然函数取对数得到对数似然函数，然后对对数似然函数求导并令导数为零，解出参数的最大似然估计值，最后将样本数据代入计算。

1. 写出指数分布的概率密度函数：
   已知总体$X$服从指数分布$Exp(\lambda)$，其概率密度函数为$f(x;\lambda)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\gt0\\0,&x\leq0\end{cases}$，其中$\lambda\gt0$是未知参数。
2. 构建似然函数：
   设$x_1,x_2,\cdots,x_n$是来自总体$X$的样本观测值，由于样本中的各个观测值是相互独立的，所以似然函数$L(\lambda)$为各个观测值概率密度函数的乘积，即$L(\lambda)=\prod_{i = 1}^{n}f(x_i;\lambda)$。
   将$f(x_i;\lambda)=\lambda e^{-\lambda x_i}$代入上式可得：
   $L(\lambda)=\prod_{i = 1}^{n}\lambda e^{-\lambda x_i}=\lambda^n e^{-\lambda\sum_{i = 1}^{n}x_i}$
3. 取对数得到对数似然函数：
   为了方便求导，对似然函数$L(\lambda)$取自然对数，得到对数似然函数$\ell(\lambda)$：
   $\ell(\lambda)=\ln L(\lambda)=\ln(\lambda^n e^{-\lambda\sum_{i = 1}^{n}x_i})$
   根据对数的运算法则$\ln(ab)=\ln a+\ln b$，可得：
   $\ell(\lambda)=\ln\lambda^n+\ln e^{-\lambda\sum_{i = 1}^{n}x_i}=n\ln\lambda-\lambda\sum_{i = 1}^{n}x_i$
4. 求导并令导数为零：
   对对数似然函数$\ell(\lambda)$关于$\lambda$求导：
   $\frac{d\ell(\lambda)}{d\lambda}=\frac{n}{\lambda}-\sum_{i = 1}^{n}x_i$
   令$\frac{d\ell(\lambda)}{d\lambda}=0$，即$\frac{n}{\lambda}-\sum_{i = 1}^{n}x_i=0$，解这个方程可得：
   $\frac{n}{\lambda}=\sum_{i = 1}^{n}x_i$
   \为为$2$，所以$\lambda$的最大似然估计值为$\hat{\lambda}=\frac{n}{\sum_{i = 1}^{n}x_i}$。
5. 代入样本数据计算：
   已知样本容量$n = 8$，样本观测值为$1,3,3,2,6,5,7,9$，则$\sum_{i = 1}^{8}x_i=1 + 3 + 3 + 2 + 6 + 5 + 7 + 9 = 36$。
   将$n = 8$和$\sum_{i = 1}^{8}x_i = 36$代入$\hat{\lambda}=\frac{n}{\sum_{i = 1}^{n}x_i}$可得：
   $\hat{\lambda}=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$