题目
9.若对于数列x_{n)},x_(n+1)=f(x_(n)),n=1,2,...,f(x)可导，a是f(x)=x的唯一解，且对任意的xin R,有|f'(x)|leqslant k<1.证明x_{n)}收敛于a.
9.若对于数列$\{x_{n}\}$,$x_{n+1}=f(x_{n})$,$n=1,2,\cdots$,$f(x)$可导，a是f(x)=x的唯一解，且对任意的$x\in R$,有$|f'(x)|\leqslant k<1$.证明$\{x_{n}\}$收敛于a.
题目解答
答案
由题意，对任意 $x \in \mathbb{R}$，有 $|f'(x)| \leq k < 1$。根据拉格朗日中值定理，对任意 $x, y \in \mathbb{R}$，存在 $\xi$ 使得
\[
|f(x) - f(y)| = |f'(\xi)| |x - y| \leq k |x - y|.
\]
取 $y = a$（其中 $a$ 是 $f(x) = x$ 的唯一解），则
\[
|x_{n+1} - a| = |f(x_n) - f(a)| \leq k |x_n - a|.
\]
递推得
\[
|x_{n+1} - a| \leq k^n |x_1 - a| \to 0 \quad (n \to \infty),
\]
故 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$。或者，由压缩映射原理，迭代序列 $\{x_n\}$ 收敛于唯一不动点 $a$。
**答案：** $\boxed{\{x_n\} \text{ 收敛于 } a}$
解析
考查要点：本题主要考查压缩映射原理或微分中值定理的应用，结合不动点理论证明迭代数列的收敛性。
解题核心思路：
- 利用导数条件：已知$|f'(x)| \leq k < 1$，说明$f(x)$是压缩映射，即任意两点间的映射距离缩小为原距离的$k$倍。
- 构造误差递推关系：通过比较$x_n$与不动点$a$的误差$|x_n - a|$，建立递推不等式，证明误差指数级衰减。
- 唯一性保证收敛性：由于$a$是唯一的不动点，误差趋于0时，数列必然收敛于$a$。
破题关键点：
- 拉格朗日中值定理的应用，将$f(x_n) - f(a)$转化为导数与$x_n - a$的乘积。
- 递推不等式的建立与指数衰减性质的推导。
步骤1：应用拉格朗日中值定理
对任意$x, y \in \mathbb{R}$，存在$\xi$介于$x$和$y$之间，使得：
$f(x) - f(y) = f'(\xi)(x - y).$
取模长并利用条件$|f'(x)| \leq k$，得：
$|f(x) - f(y)| \leq k |x - y|.$
步骤2：固定$y = a$（不动点）
由于$a$是$f(x) = x$的解，即$f(a) = a$，代入上式得：
$|x_{n+1} - a| = |f(x_n) - f(a)| \leq k |x_n - a|.$
步骤3：递推不等式与误差估计
通过数学归纳法，可得：
$|x_{n} - a| \leq k^{n-1} |x_1 - a|.$
当$n \to \infty$时，因$0 < k < 1$，故$k^{n} \to 0$，从而$|x_n - a| \to 0$。
结论：数列$\{x_n\}$收敛于$a$。