1.在一箱子中装有12只开关,其中2只是次品,在其中取两次,每次任取一只,考虑两种-|||-试验:(1)放回抽样;(2)不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下:-|||-= 0,若第一次取出的是正品, 1,若第一次取出的是次品; -|||-= 0,若第二次取出的是正品, 1,若第二次取出的是次品. -|||-试分别就(1)、(2)两种情况,写出X和Y的联合分布律.

考查要点：本题主要考查联合分布律的求解，涉及放回抽样和不放回抽样两种情况下的概率计算，重点在于理解两种抽样方式对随机变量独立性的影响。

解题核心思路：

1. 放回抽样：两次抽取相互独立，联合概率为各自概率的乘积。
2. 不放回抽样：两次抽取结果相关，需用条件概率计算联合概率。

破题关键点：

• 独立性判断：放回时独立，不放回时依赖。
• 概率调整：不放回时，第一次抽取后总数和次品数会变化。

(1) 放回抽样

独立性：两次抽取独立，故联合概率为 $P(X=i,Y=j) = P(X=i) \cdot P(Y=j)$。

概率计算：

• $P(X=0) = P(Y=0) = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$（抽到正品）
• $P(X=1) = P(Y=1) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$（抽到次品）

联合概率：

• $P(X=0,Y=0) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$
• $P(X=0,Y=1) = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$
• $P(X=1,Y=0) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36}$
• $P(X=1,Y=1) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

(2) 不放回抽样

条件概率：需分情况计算第一次抽取后的影响。

概率计算：

1. 第一次抽到正品（$X=0$）：

   • $P(X=0) = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$
   • 第二次抽到正品：$P(Y=0|X=0) = \frac{9}{11}$，故 $P(X=0,Y=0) = \frac{5}{6} \cdot \frac{9}{11} = \frac{45}{66}$
   • 第二次抽到次品：$P(Y=1|X=0) = \frac{2}{11}$，故 $P(X=0,Y=1) = \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{11} = \frac{10}{66}$

2. 第一次抽到次品（$X=1$）：

   • $P(X=1) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
   • 第二次抽到正品：$P(Y=0|X=1) = \frac{10}{11}$，故 $P(X=1,Y=0) = \frac{1}{6} \cdot \frac{10}{11} = \frac{10}{66}$
   • 第二次抽到次品：$P(Y=1|X=1) = \frac{1}{11}$，故 $P(X=1,Y=1) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{11} = \frac{1}{66}$