设样本X1, X2,..., Xn为来自总体X的一组样本，总体的概率密度为: [ f(x)= } theta x^theta-1, & 0

本题考查极大似然估计的知识，解题思路是先写出似然函数，然后对似然函数取对数，最后求对数似然函数的最大值来得到极大似然估计量。

1. 写出似然函数：
   似然函数$L(\theta)$是样本概率密度的连乘积，即$L(\theta)=\prod_{i = 1}^{n}f(x_i)$。
   已知$f(x)=\begin{cases}\theta x^{\theta - 1}, & 0 < x < 1 \\ 0, & others\end{cases}$，则$L(\theta)=\prod_{i = 1}^{n}\theta x_i^{\theta - 1}=\theta^n\prod_{i = 1}^{n}x_i^{\theta - 1}$。

2. 对似然函数取对数：
   $\ln L(\theta)=n\ln\theta+(\theta - 1)\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i$。

3. 求对数似然函数的最大值：
   对$\ln L(\theta)$关于$\theta$求偏导数，并令其等于$0$，即$\frac{\partial\ln L(\theta)}{\partial\theta}=\frac{n}{\theta}+\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i = 0$。
   解这个方程可得$\theta=-\frac{n}{\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i}$。
   所以$\theta$的极大似然估计量$\hat{\theta}=-\frac{n}{\sum_{i = 1}^{n}\ln x_i}$。