设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1,标准差(均方-|||-差)为 sqrt (2) 的正态分布.而Y 服从标准正态分布,试求随机变量 Z=2X-Y+3 的概率密-|||-度函数。

考查要点：本题主要考查正态分布的线性组合性质及概率密度函数的求解方法。

解题核心思路：

1. 正态分布的封闭性：若随机变量X和Y独立且均服从正态分布，则它们的线性组合Z = aX + bY + c仍服从正态分布。
2. 均值与方差的计算：根据线性组合的性质，计算EZ和DZ，从而确定Z的正态分布参数。

破题关键点：

• 独立性：X与Y独立，因此方差计算时可直接相加。
• 系数处理：注意线性组合中系数的平方对方差的影响。

步骤1：确定Z的分布类型

由于X和Y均为正态分布且独立，Z = 2X - Y + 3是它们的线性组合，因此Z仍服从正态分布。

步骤2：计算均值EZ

根据期望的线性性质：
$EZ = 2EX - EY + 3$
已知X的均值为1，Y的均值为0（标准正态分布），代入得：
$EZ = 2 \times 1 - 0 + 3 = 5$

步骤3：计算方差DZ

根据方差的性质（独立变量方差可加）：
$DZ = 4DX + 1 \times DY$
已知X的标准差为$\sqrt{2}$，故$DX = (\sqrt{2})^2 = 2$；Y的标准差为1，故$DY = 1$。代入得：
$DZ = 4 \times 2 + 1 = 9$

步骤4：写出概率密度函数

Z服从正态分布$N(5, 9)$，其概率密度函数为：
$f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot 9}} e^{-\frac{(z-5)^2}{2 \cdot 9}} = \frac{1}{3\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(z-5)^2}{18}}$