设函数y=f(e^x)的定义域为[0,1],则函数y=f(x)的定义域为( ).A. (0,1]B. [1,e]C. (1,e)D. (0,e)

本题考查复合函数定义域的求解。解题的关键在于理解复合函数中内外函数定义域的关系，对于函数$y = f(g(x))$，$g(x)$的值域就是函数$y = f(x)$的定义域。

已知函数$y = f(e^x)$的定义域为$[0,1]$，这里的定义域是指自变量$x$的取值范围。

1. 首先明确$x$的取值范围：
   • 由题可知$x\in[0,1]$。
2. 然后分析函数$g(x)=e^x$的单调性：
   • 指数函数$y = e^x$的底数$e\gt1$，所以$y = e^x$在$R$上单调递增。
3. 接着求$e^x$在$x\in[0,1]$时的值域：
   • 当$x = 0$时，$e^x=e^0$，根据指数运算法则$a^0 = 1$（$a\neq0$），可得$e^0 = 1$。
   • 当$x = 1$时，$e^x=e^1=e$。
   • 因为$y = e^x$在$[0,1]$上单调递增，所以当$x\in[0,1]$时，$e^x\in[e^0,e^1]$，即$e^x\in[1,e]$。
4. 最后确定函数$y = f(x)$的定义域：
   • 由于函数$y = f(e^x)$中$e^x$的值域就是函数$y = f(x)$的定义域，所以函数$y = f(x)$的定义域为$[1,e]$。