题目
18（2023，10题，5分）设X_(1),X_(2)为来自总体N(mu,sigma^2)的简单随机样本，其中sigma(sigma>0)是未知参数.若hat(sigma)=a|X_(1)-X_(2)|为σ的无偏估计，则a= (A. (sqrt(pi))/(2)B. (sqrt(2pi))/(2)C. sqrt(pi)D. sqrt(2pi)
18（2023，10题，5分）设$X_{1},X_{2}$为来自总体$N(\mu,\sigma^{2})$的简单随机样本，其中$\sigma(\sigma>0)$是未知参数.若$\hat{\sigma}=a|X_{1}-X_{2}|$为σ的无偏估计，则a= (
A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2\pi}}{2}$
C. $\sqrt{\pi}$
D. $\sqrt{2\pi}$
题目解答
答案
A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
解析
步骤 1：定义变量
设 $Y = X_1 - X_2$，则 $Y$ 是两个独立的正态分布随机变量之差，因此 $Y$ 也服从正态分布。由于 $X_1$ 和 $X_2$ 都来自总体 $N(\mu, \sigma^2)$，则 $Y$ 的均值为 $0$，方差为 $2\sigma^2$，即 $Y \sim N(0, 2\sigma^2)$。
步骤 2：计算绝对值的期望
对于均值为 $0$，方差为 $\tau^2$ 的正态变量，其绝对值的期望为 $\sqrt{\frac{2}{\pi}}\tau$。这里 $\tau^2 = 2\sigma^2$，故 $\tau = \sigma\sqrt{2}$，从而 \[E[|Y|] = \sigma\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}} = \sigma \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}}.\]
步骤 3：确定无偏估计的系数
为使 $\hat{\sigma} = a|X_1 - X_2|$ 无偏，需满足 \[E[\hat{\sigma}] = aE[|Y|] = a\sigma \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}} = \sigma.\] 解得 $a = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$。
设 $Y = X_1 - X_2$，则 $Y$ 是两个独立的正态分布随机变量之差，因此 $Y$ 也服从正态分布。由于 $X_1$ 和 $X_2$ 都来自总体 $N(\mu, \sigma^2)$，则 $Y$ 的均值为 $0$，方差为 $2\sigma^2$，即 $Y \sim N(0, 2\sigma^2)$。
步骤 2：计算绝对值的期望
对于均值为 $0$，方差为 $\tau^2$ 的正态变量，其绝对值的期望为 $\sqrt{\frac{2}{\pi}}\tau$。这里 $\tau^2 = 2\sigma^2$，故 $\tau = \sigma\sqrt{2}$，从而 \[E[|Y|] = \sigma\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}} = \sigma \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}}.\]
步骤 3：确定无偏估计的系数
为使 $\hat{\sigma} = a|X_1 - X_2|$ 无偏，需满足 \[E[\hat{\sigma}] = aE[|Y|] = a\sigma \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}} = \sigma.\] 解得 $a = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$。