[题目]求 =sqrt (arcsin (2x-1)) 的值域。

考查要点：本题主要考查复合函数的值域求解，涉及反三角函数（反余弦函数）的定义域与值域，以及平方根函数的性质。

解题核心思路：

1. 确定内层函数的定义域：反余弦函数 $\arccos(2x-1)$ 的定义域要求 $2x-1 \in [-1,1]$，从而得到 $x$ 的范围。
2. 分析内层函数的值域：$\arccos(2x-1)$ 的值域为 $[0, \pi]$。
3. 结合外层函数的性质：平方根函数 $\sqrt{\cdot}$ 的输入需非负，且其值域由内层函数的值域直接决定。

破题关键点：

• 反余弦函数的值域：$\arccos(z)$ 的值域为 $[0, \pi]$，当 $z \in [-1,1]$ 时。
• 平方根函数的单调性：$\sqrt{t}$ 在 $t \geq 0$ 时单调递增，因此值域由 $t$ 的最小值和最大值直接确定。

步骤1：确定反余弦函数的定义域

反余弦函数 $\arccos(2x-1)$ 的定义域要求：
$-1 \leq 2x-1 \leq 1$
解不等式：

1. 下限：$2x-1 \geq -1 \implies 2x \geq 0 \implies x \geq 0$；
2. 上限：$2x-1 \leq 1 \implies 2x \leq 2 \implies x \leq 1$；
   因此，定义域为：
   $x \in [0, 1]$

步骤2：分析反余弦函数的值域

当 $2x-1$ 在 $[-1, 1]$ 内变化时，$\arccos(2x-1)$ 的值域为：
$[0, \pi]$

步骤3：结合平方根函数的值域

外层函数 $\sqrt{\arccos(2x-1)}$ 的输入 $\arccos(2x-1)$ 非负，因此：

• 最小值：当 $\arccos(2x-1) = 0$ 时，$\sqrt{0} = 0$；
• 最大值：当 $\arccos(2x-1) = \pi$ 时，$\sqrt{\pi}$；
  故值域为：
  $[0, \sqrt{\pi}]$