题目

4、设X~N(0,σ²)，从总体X中抽取样本X_(1),…,X_(9)，试确定σ的值，使得P(1<bar(X)<3)为最大，其中bar(X)=(1)/(9)sum_(i=1)^9X_(i)

4、设X~N(0,σ²)，从总体X中抽取样本$X_{1}$,…,$X_{9}$，试确定σ的值，使得P(1<$\bar{X}$<3)为最大，其中$\bar{X}=\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{9}X_{i}$

题目解答

答案

设 $Z = \frac{\overline{X}}{\sigma/3}$，则 $Z \sim N(0,1)$。 \[ P(1 < \overline{X} < 3) = P\left(\frac{3}{\sigma} < Z < \frac{9}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{9}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{3}{\sigma}\right) \] 对 $\sigma$ 求导并令导数为零： \[ \frac{d}{d\sigma} \left[ \Phi\left(\frac{9}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{3}{\sigma}\right) \right] = \frac{3}{\sigma^2} \left[ \phi\left(\frac{3}{\sigma}\right) - 3 \phi\left(\frac{9}{\sigma}\right) \right] = 0 \] 解得： \[ \phi\left(\frac{3}{\sigma}\right) = 3 \phi\left(\frac{9}{\sigma}\right) \Rightarrow e^{-\frac{9}{2\sigma^2}} = 3 e^{-\frac{81}{2\sigma^2}} \Rightarrow \sigma = \frac{6}{\sqrt{\ln 3}} \] **答案：** \[ \boxed{\frac{6}{\sqrt{\ln 3}}} \]

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的性质、样本均值的分布以及利用导数求极值的方法。

解题核心思路：

  1. 标准化样本均值：将样本均值$\bar{X}$转化为标准正态变量$Z$，将概率表达式转化为标准正态分布的函数。
  2. 构造概率表达式：利用标准正态分布的累积分布函数$\Phi$表示原概率。
  3. 求导找极值：对概率表达式关于$\sigma$求导，令导数为零，解方程得到$\sigma$的临界值。
  4. 验证解的合理性：通过方程变形和指数函数的性质求解，最终得到$\sigma$的表达式。

破题关键点：

  • 样本均值的分布：$\bar{X} \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{9}\right)$，即$\bar{X}$的标准差为$\frac{\sigma}{3}$。
  • 概率表达式的转化：通过标准化将概率转化为标准正态分布的差值。
  • 导数的计算：正确应用链式法则，结合标准正态分布的密度函数$\phi(x)$进行求导。

步骤1：标准化样本均值

由$\bar{X} \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{9}\right)$，定义标准正态变量：
$Z = \frac{\bar{X}}{\sigma/3} \sim N(0,1)$
原概率可转化为：
$P(1 < \bar{X} < 3) = P\left(\frac{3}{\sigma} < Z < \frac{9}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{9}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{3}{\sigma}\right)$

步骤2：构造目标函数并求导

设$f(\sigma) = \Phi\left(\frac{9}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{3}{\sigma}\right)$，对$\sigma$求导：
$f'(\sigma) = \frac{3}{\sigma^2} \left[ \phi\left(\frac{3}{\sigma}\right) - 3 \phi\left(\frac{9}{\sigma}\right) \right]$

步骤3：解方程求临界点

令$f'(\sigma) = 0$，得：
$\phi\left(\frac{3}{\sigma}\right) = 3 \phi\left(\frac{9}{\sigma}\right)$
代入标准正态密度函数$\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$，化简得：
$e^{-\frac{9}{2\sigma^2}} = 3 e^{-\frac{81}{2\sigma^2}} \implies \frac{72}{2\sigma^2} = \ln 3 \implies \sigma = \frac{6}{\sqrt{\ln 3}}$