题目
记Sn为等比数列(an)的前n项和，若S4=5S2，S6=21，则S8=（ ）A. -120B. -85C. 85D. 120
记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=5S2，S6=21，则S8=（ ）
A. -120
B. -85
C. 85
D. 120
题目解答
答案
C. 85
解析
步骤 1：确定等比数列的公比
设等比数列{a_n}的公比为q，根据题意，S_4=5S_2，即a_1+a_2+a_3+a_4=5(a_1+a_2)。由于a_3=a_1q^2，a_4=a_1q^3，可以得到a_1q^2+a_1q^3=4(a_1+a_1q)，即q^2(1+q)=4(1+q)。由于q≠-1，可以得到q^2=4，即q=±2。
步骤 2：计算S_6
根据S_6=21，可以得到a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=21。由于a_5=a_1q^4，a_6=a_1q^5，可以得到a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+a_1q^4+a_1q^5=21。将q=±2代入，可以得到a_1(1+q+q^2+q^3+q^4+q^5)=21。由于q=±2，可以得到a_1(1±2+4±8+16±32)=21，即a_1(1±2+4±8+16±32)=21。由于q=2时，a_1(1+2+4+8+16+32)=21，即a_1(63)=21，可以得到a_1=1/3。由于q=-2时，a_1(1-2+4-8+16-32)=21，即a_1(-21)=21，可以得到a_1=-1。由于a_1>0，可以得到q=2，a_1=1/3。
步骤 3：计算S_8
根据S_8=S_6+a_7+a_8，可以得到S_8=21+a_1q^6+a_1q^7。将q=2，a_1=1/3代入，可以得到S_8=21+(1/3)2^6+(1/3)2^7=21+(1/3)64+(1/3)128=21+64/3+128/3=21+192/3=21+64=85。
设等比数列{a_n}的公比为q，根据题意，S_4=5S_2，即a_1+a_2+a_3+a_4=5(a_1+a_2)。由于a_3=a_1q^2，a_4=a_1q^3，可以得到a_1q^2+a_1q^3=4(a_1+a_1q)，即q^2(1+q)=4(1+q)。由于q≠-1，可以得到q^2=4，即q=±2。
步骤 2：计算S_6
根据S_6=21，可以得到a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=21。由于a_5=a_1q^4，a_6=a_1q^5，可以得到a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+a_1q^4+a_1q^5=21。将q=±2代入，可以得到a_1(1+q+q^2+q^3+q^4+q^5)=21。由于q=±2，可以得到a_1(1±2+4±8+16±32)=21，即a_1(1±2+4±8+16±32)=21。由于q=2时，a_1(1+2+4+8+16+32)=21，即a_1(63)=21，可以得到a_1=1/3。由于q=-2时，a_1(1-2+4-8+16-32)=21，即a_1(-21)=21，可以得到a_1=-1。由于a_1>0，可以得到q=2，a_1=1/3。
步骤 3：计算S_8
根据S_8=S_6+a_7+a_8，可以得到S_8=21+a_1q^6+a_1q^7。将q=2，a_1=1/3代入，可以得到S_8=21+(1/3)2^6+(1/3)2^7=21+(1/3)64+(1/3)128=21+64/3+128/3=21+192/3=21+64=85。