2.确定a,b,c的值,使下列极限等式成立:-|||-(1) lim _(xarrow +infty )(sqrt ({x)^2-x+1}-ax+b)=0;-|||-(2)lim a(x-1)^2+b (x-1)+c-√x^2+3-|||-=

考查要点：
本题主要考查极限的计算技巧，特别是处理根号表达式与多项式相减的极限问题，以及利用泰勒展开或等价无穷小进行化简的能力。

解题思路：

1. 第（1）题：当$x \to +\infty$时，根号$\sqrt{x^2 - x + 1}$的主导项为$x$，需通过有理化或展开根号的方法消去无限项，使极限为0。
2. 第（2）题：当$x \to 1$时，分子需展开为泰勒多项式，使得分子中各阶项的系数与分母$(x-1)^2$匹配，从而保证极限为0。

破题关键：

• 第（1）题：将根号表达式展开为$x - \frac{1}{2} + o(1)$，与$-ax + b$合并后，令$x$的系数和常数项为0。
• 第（2）题：将$\sqrt{x^2 + 3}$在$x=1$处展开到二阶，与分子中的多项式部分比较，解出$a, b, c$。

第（1）题

步骤1：展开根号表达式

当$x \to +\infty$时，$\sqrt{x^2 - x + 1} = x \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}$。利用泰勒展开$\sqrt{1 + \epsilon} \approx 1 + \frac{\epsilon}{2} - \frac{\epsilon^2}{8}$（其中$\epsilon = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$），得：
$\sqrt{x^2 - x + 1} \approx x \left(1 - \frac{1}{2x} + \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{2x} - \frac{1}{x^2} \right) = x - \frac{1}{2} + o(1).$

步骤2：代入原式并求极限

原式变为：
$\left(x - \frac{1}{2} + o(1)\right) - a x + b = (1 - a)x + \left(b - \frac{1}{2}\right) + o(1).$
令极限为0，需满足：
$\begin{cases}1 - a = 0, \\b - \frac{1}{2} = 0.\end{cases}$
解得：
$a = 1, \quad b = \frac{1}{2}.$

第（2）题

步骤1：变量代换

令$t = x - 1$，则当$x \to 1$时，$t \to 0$，原式变为：
$\lim_{t \to 0} \frac{a t^2 + b t + c - \sqrt{(t + 1)^2 + 3}}{t^2} = 0.$

步骤2：展开根号表达式

计算$\sqrt{(t + 1)^2 + 3} = \sqrt{t^2 + 2t + 4}$，在$t=0$处展开到二阶：
$\sqrt{4 + 2t + t^2} = 2 + \frac{1}{2}t + \frac{3}{16}t^2 + o(t^2).$

步骤3：代入分子并整理

分子为：
$a t^2 + b t + c - \left(2 + \frac{1}{2}t + \frac{3}{16}t^2\right) = (a - \frac{3}{16})t^2 + (b - \frac{1}{2})t + (c - 2) + o(t^2).$
为使极限为0，需分子各阶系数为0：
$\begin{cases}a - \frac{3}{16} = 0, \\b - \frac{1}{2} = 0, \\c - 2 = 0.\end{cases}$
解得：
$a = \frac{3}{16}, \quad b = \frac{1}{2}, \quad c = 2.$