题目
已知某种灯泡的使用寿命服从正态分布，方差sigma^2已知。从该种灯泡中随机抽取15只，测得平均使用寿命为9800小时。则该种灯泡平均使用寿命的95%的置信区间为A. 9800 pm t_(alpha/2) (sigma)/(sqrt(n))B. 9800 pm z_(alpha/2) (sigma)/(sqrt(n))C. 9800 pm z_(alpha/2) (s)/(sqrt(n))D. 9800 pm t_(alpha/2) (s)/(sqrt(n))
已知某种灯泡的使用寿命服从正态分布，方差$\sigma^2$已知。从该种灯泡中随机抽取15只，测得平均使用寿命为9800小时。则该种灯泡平均使用寿命的95%的置信区间为
A. $9800 \pm t_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
B. $9800 \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
C. $9800 \pm z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}$
D. $9800 \pm t_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}$
题目解答
答案
B. $9800 \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
解析
步骤 1：确定置信区间的公式
由于已知总体方差$\sigma^2$，我们使用正态分布的性质来计算置信区间。置信区间的公式为：\[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] 其中： - $\bar{x}$是样本均值， - $z_{\alpha/2}$是与置信水平相对应的z分数（对于95%置信区间，$z_{\alpha/2} = 1.96$）， - $\sigma$是总体标准差， - $n$是样本大小。
步骤 2：代入已知值
在本题中： - 样本均值$\bar{x}$是9800小时， - 总体标准差$\sigma$是已知的（虽然没有给出具体值，但我们在公式中使用$\sigma$）， - 样本大小$n$是15， - 对于95%置信区间，$z_{\alpha/2} = 1.96$。 将这些值代入公式，我们得到：\[ 9800 \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{15}} \]
步骤 3：选择正确的选项
根据上述计算，正确的置信区间公式为：\[ 9800 \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] 这与选项B相匹配。
由于已知总体方差$\sigma^2$，我们使用正态分布的性质来计算置信区间。置信区间的公式为：\[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] 其中： - $\bar{x}$是样本均值， - $z_{\alpha/2}$是与置信水平相对应的z分数（对于95%置信区间，$z_{\alpha/2} = 1.96$）， - $\sigma$是总体标准差， - $n$是样本大小。
步骤 2：代入已知值
在本题中： - 样本均值$\bar{x}$是9800小时， - 总体标准差$\sigma$是已知的（虽然没有给出具体值，但我们在公式中使用$\sigma$）， - 样本大小$n$是15， - 对于95%置信区间，$z_{\alpha/2} = 1.96$。 将这些值代入公式，我们得到：\[ 9800 \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{15}} \]
步骤 3：选择正确的选项
根据上述计算，正确的置信区间公式为：\[ 9800 \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] 这与选项B相匹配。