题目
某居民新区居住 10000 户 ，夜间每户用电的概率都为 0.8，各户用电开关独立，求夜间用电户数在 7900 至 8100 之间的概率 (P(2.5)=0.9938 )
某居民新区居住 10000 户 ，夜间每户用电的概率都为 0.8，各户用电开关独立，求夜间用电户数在 7900 至 8100 之间的概率 (
)
题目解答
答案
解：
设用电户数为X，则X~B(10000,0.8)，E(X)=10000×0.8=8000
∴
故答案为：0.9876
解析
步骤 1：定义随机变量
设夜间用电户数为随机变量X，由于每户用电的概率为0.8，且各户用电开关独立，因此X服从二项分布B(10000, 0.8)。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，期望E(X) = n * p = 10000 * 0.8 = 8000，方差Var(X) = n * p * (1 - p) = 10000 * 0.8 * 0.2 = 1600，标准差σ = √Var(X) = √1600 = 40。
步骤 3：使用正态分布近似
由于n很大，p不接近0或1，可以使用正态分布N(μ, σ^2)近似二项分布B(n, p)，其中μ = E(X) = 8000，σ = 40。因此，X近似服从N(8000, 1600)。
步骤 4：计算概率
要计算夜间用电户数在7900至8100之间的概率，即求P(7900 < X ≤ 8100)。使用正态分布的标准化公式，将X转换为标准正态分布Z，其中Z = (X - μ) / σ。因此，P(7900 < X ≤ 8100) = P((7900 - 8000) / 40 < Z ≤ (8100 - 8000) / 40) = P(-2.5 < Z ≤ 2.5)。根据标准正态分布表，P(Z ≤ 2.5) = 0.9938，P(Z ≤ -2.5) = 1 - P(Z ≤ 2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062。因此，P(-2.5 < Z ≤ 2.5) = P(Z ≤ 2.5) - P(Z ≤ -2.5) = 0.9938 - 0.0062 = 0.9876。
设夜间用电户数为随机变量X，由于每户用电的概率为0.8，且各户用电开关独立，因此X服从二项分布B(10000, 0.8)。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，期望E(X) = n * p = 10000 * 0.8 = 8000，方差Var(X) = n * p * (1 - p) = 10000 * 0.8 * 0.2 = 1600，标准差σ = √Var(X) = √1600 = 40。
步骤 3：使用正态分布近似
由于n很大，p不接近0或1，可以使用正态分布N(μ, σ^2)近似二项分布B(n, p)，其中μ = E(X) = 8000，σ = 40。因此，X近似服从N(8000, 1600)。
步骤 4：计算概率
要计算夜间用电户数在7900至8100之间的概率，即求P(7900 < X ≤ 8100)。使用正态分布的标准化公式，将X转换为标准正态分布Z，其中Z = (X - μ) / σ。因此，P(7900 < X ≤ 8100) = P((7900 - 8000) / 40 < Z ≤ (8100 - 8000) / 40) = P(-2.5 < Z ≤ 2.5)。根据标准正态分布表，P(Z ≤ 2.5) = 0.9938，P(Z ≤ -2.5) = 1 - P(Z ≤ 2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062。因此，P(-2.5 < Z ≤ 2.5) = P(Z ≤ 2.5) - P(Z ≤ -2.5) = 0.9938 - 0.0062 = 0.9876。