(4) 设总体X和Y相互独立，且都服从N(0,1)，X_(1),X_(2),... X_(9)是来自总体X的样本，Y_(1),Y_(2),... Y_(9)是来自总体Y的样本，则统计量U=(X_(1)+...+X_(9))/(sqrt(Y_(1)^2)+...+Y_{9^2)}服从____分布(要求给出自由度).

考查要点：本题主要考查t分布的定义及其构成条件，需要结合正态分布的性质和卡方分布的理解。

解题核心思路：

1. 分子部分：多个独立标准正态变量的和仍服从正态分布，需通过标准化转化为标准正态变量。
2. 分母部分：独立标准正态变量的平方和服从卡方分布，需构造卡方分布的标准化形式。
3. 独立性：确认分子与分母对应的随机变量相互独立，满足t分布的条件。

破题关键点：

• 标准化处理：将分子的和转化为标准正态变量。
• 卡方分布的构造：将分母的平方和转化为卡方分布的标准化形式。
• t分布的识别：结合分子和分母的形式，判断是否符合t分布的结构。

分子部分分析

• $X_1, X_2, \cdots, X_9$ 是独立同分布于 $N(0,1)$ 的样本，因此它们的和 $X_1 + X_2 + \cdots + X_9$ 服从 $N(0, 9)$（均值为 $0$，方差为 $9$）。
• 标准化：将和除以标准差 $3$，得到 $\frac{X_1 + \cdots + X_9}{3} \sim N(0,1)$。

分母部分分析

• $Y_1^2, Y_2^2, \cdots, Y_9^2$ 是独立同分布于 $\chi^2(1)$ 的样本，因此它们的和 $Y_1^2 + \cdots + Y_9^2$ 服从 $\chi^2(9)$。
• 标准化：将平方和除以自由度 $9$，得到 $\frac{Y_1^2 + \cdots + Y_9^2}{9} \sim \frac{\chi^2(9)}{9}$。

构造统计量 $U$

将 $U$ 重写为：
$U = \frac{\frac{X_1 + \cdots + X_9}{3}}{\sqrt{\frac{Y_1^2 + \cdots + Y_9^2}{9}}}$
此时：

• 分子是标准正态变量。
• 分母是 $\sqrt{\frac{\chi^2(9)}{9}}$，对应自由度为 $9$ 的卡方分布的标准化形式。
• 独立性：$X$ 和 $Y$ 样本相互独立，因此分子与分母独立。

根据 t分布的定义，$U$ 服从自由度为 $9$ 的 t 分布。