(3)设A是n阶矩阵,满足(A-E)^3=(A+E)^3,则(A-2E)^-1=____.
题目解答
答案
由条件 $(A - E)^3 = (A + E)^3$，展开并化简得：
$A^3 - 3A^2 + 3A - E = A^3 + 3A^2 + 3A + E \implies -6A^2 = 2E \implies A^2 = -\frac{1}{3}E$
设 $(A - 2E)^{-1} = aA + bE$，则：
$(A - 2E)(aA + bE) = E \implies aA^2 + (b - 2a)A - 2bE = E$
代入 $A^2 = -\frac{1}{3}E$，得：
$-\frac{a}{3}E + (b - 2a)A - 2bE = E \implies (b - 2a)A + \left(-\frac{a}{3} - 2b\right)E = E$
解得 $b = 2a$，$a = -\frac{3}{13}$，$b = -\frac{6}{13}$。
因此，$(A - 2E)^{-1} = -\frac{3}{13}(A + 2E)$。
答案： $\boxed{-\frac{3}{13}(A + 2E)}$（或 $\boxed{-\frac{1}{13}(3A + 6E)}$）
解析
考查要点：本题主要考查矩阵方程的化简、逆矩阵的求解方法，以及利用矩阵多项式表示逆矩阵的能力。
解题核心思路：
- 展开并化简条件方程：利用立方展开公式，将条件$(A - E)^3 = (A + E)^3$展开，通过对比系数得到关于$A$的二次方程。
- 构造逆矩阵表达式：假设$(A - 2E)^{-1}$为$A$的线性组合$aA + bE$，通过矩阵乘法展开并代入已知条件，解出$a$和$b$的值。
破题关键点：
- 化简条件方程：通过展开立方项并消去高次项，得到$A^2 = -\frac{1}{3}E$。
- 逆矩阵的假设形式：利用矩阵多项式形式假设逆矩阵，代入后通过系数对比解方程。
步骤1：化简条件方程
展开$(A - E)^3$和$(A + E)^3$：
$\begin{aligned}(A - E)^3 &= A^3 - 3A^2 + 3A - E, \\(A + E)^3 &= A^3 + 3A^2 + 3A + E.\end{aligned}$
根据条件$(A - E)^3 = (A + E)^3$，两边相减得：
$-6A^2 - 2E = 0 \implies A^2 = -\frac{1}{3}E.$
步骤2：求逆矩阵$(A - 2E)^{-1}$
假设$(A - 2E)^{-1} = aA + bE$，则：
$(A - 2E)(aA + bE) = E.$
展开左边：
$aA^2 + (b - 2a)A - 2bE.$
代入$A^2 = -\frac{1}{3}E$：
$-\frac{a}{3}E + (b - 2a)A - 2bE = E.$
对比系数得方程组：
$\begin{cases}b - 2a = 0, \\-\frac{a}{3} - 2b = 1.\end{cases}$
解得：
$a = -\frac{3}{13}, \quad b = -\frac{6}{13}.$
因此，逆矩阵为：
$(A - 2E)^{-1} = -\frac{3}{13}(A + 2E).$