题目
6.设X~N(3,2²),则P(|X|>2)=0.5().square√square×
6.设X~N(3,2²),则P{|X|>2}=0.5().
$\square$√
$\square$×
题目解答
答案
设 $ X \sim N(3, 2^2) $，则 $ \mu = 3 $，$ \sigma = 2 $。
计算 $ P\{|X| > 2\} = P(X > 2) + P(X < -2) $：
1. 标准化 $ X = 2 $：$ Z = \frac{2 - 3}{2} = -0.5 $，
$ P(X > 2) = P(Z > -0.5) = 1 - P(Z \leq -0.5) = 1 - (1 - P(Z \leq 0.5)) = P(Z \leq 0.5) \approx 0.6915 $。
2. 标准化 $ X = -2 $：$ Z = \frac{-2 - 3}{2} = -2.5 $，
$ P(X < -2) = P(Z < -2.5) = 1 - P(Z \leq 2.5) \approx 1 - 0.9938 = 0.0062 $。
3. 合并结果：$ P\{|X| > 2\} \approx 0.6915 + 0.0062 = 0.6977 \neq 0.5 $。
答案：$\boxed{\times}$
解析
本题考查正态分布的概率计算。解题思路是先明确正态分布的参数，再将绝对值不等式转化为两个不等式，然后通过标准化将正态分布转化为标准正态分布，最后利用标准正态分布表计算概率并判断等式是否成立。
- 已知$X\sim N(3,2^{2})$，根据正态分布的表达式$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，可得$\mu = 3$，$\sigma = 2$。
- 计算$P\{|X|>2\}$，根据绝对值不等式的性质$\vert a\vert\gt b$等价于$a\gt b$或$a\lt -b$，所以$P\{|X|>2\}=P(X > 2)+P(X < -2)$。
- 对于$P(X > 2)$：
- 进行标准化，根据公式$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$，当$X = 2$时，$Z=\frac{2 - 3}{2}=-0.5$，则$P(X > 2)=P(Z > -0.5)$。
- 因为标准正态分布的概率性质$P(Z > -0.5)=1 - P(Z\leq -0.5)$，又由于标准正态分布的对称性$P(Z\leq -0.5)=1 - P(Z\leq 0.5)$，所以$P(Z > -0.5)=1-(1 - P(Z\leq 0.5))=P(Z\leq 0.5)$。
- 查标准正态分布表可得$P(Z\leq 0.5)\approx0.6915$。
- 对于$P(X < -2)$：
- 进行标准化，当$X = -2$时，$Z=\frac{-2 - 3}{2}=-2.5$，则$P(X < -2)=P(Z < -2.5)$。
- 因为标准正态分布的概率性质$P(Z < -2.5)=1 - P(Z\leq 2.5)$，查标准正态分布表可得$P(Z\leq 2.5)\approx0.9938$，所以$P(Z < -2.5)=1 - 0.9938 = 0.0062$。
- 合并结果：
- $P\{|X|>2\}=P(X > 2)+P(X < -2)\approx0.6915 + 0.0062 = 0.6977\neq0.5$。