题目
设对目标独立的发射400发炮弹，已知每一发炮弹的命中率为0.2。用中心极限定理计算命中30发到100发的概率______。(标准正态分布的函数(2.5)=0.9938，保留到小数点后四位)
设对目标独立的发射400发炮弹，已知每一发炮弹的命中率为0.2。用中心极限定理计算命中30发到100发的概率______。(标准正态分布的函数
，保留到小数点后四位)
题目解答
答案
对目标独立的发射400发炮弹，已知每一发炮弹的命中率为0.2。设X表示400发炮弹命中的炮弹数，则X服从参数为
的二项分布，则
，
，由中心极限定理可得命中30发到100发的概率为
。
解析
步骤 1：确定随机变量X的分布
设X表示400发炮弹命中的炮弹数，则X服从参数为n=400, p=0.2的二项分布。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的期望和方差公式，我们有$E(X)=np=400\times 0.2=80$，$D(X)=np(1-p)=400\times 0.2\times (1-0.2)=64$。
步骤 3：应用中心极限定理
由于n=400较大，根据中心极限定理，X近似服从正态分布$N(80, 64)$。因此，我们可以将X标准化为$Z=\dfrac{X-80}{\sqrt{64}}=\dfrac{X-80}{8}$，其中Z服从标准正态分布$N(0, 1)$。
步骤 4：计算概率
我们需要计算$P(30\leqslant X\leqslant 100)$，将其转化为标准正态分布的概率，即$P(-6.25\leqslant Z\leqslant 2.5)$。根据标准正态分布的函数$(2.5)=0.9938$，我们有$P(-6.25\leqslant Z\leqslant 2.5)=(2.5)-(-6.25)=(2.5)-(1-(6.25))\approx 0.9938-(1-1)=0.9938$。
设X表示400发炮弹命中的炮弹数，则X服从参数为n=400, p=0.2的二项分布。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的期望和方差公式，我们有$E(X)=np=400\times 0.2=80$，$D(X)=np(1-p)=400\times 0.2\times (1-0.2)=64$。
步骤 3：应用中心极限定理
由于n=400较大，根据中心极限定理，X近似服从正态分布$N(80, 64)$。因此，我们可以将X标准化为$Z=\dfrac{X-80}{\sqrt{64}}=\dfrac{X-80}{8}$，其中Z服从标准正态分布$N(0, 1)$。
步骤 4：计算概率
我们需要计算$P(30\leqslant X\leqslant 100)$，将其转化为标准正态分布的概率，即$P(-6.25\leqslant Z\leqslant 2.5)$。根据标准正态分布的函数$(2.5)=0.9938$，我们有$P(-6.25\leqslant Z\leqslant 2.5)=(2.5)-(-6.25)=(2.5)-(1-(6.25))\approx 0.9938-(1-1)=0.9938$。